Условия обеспечения подобия протекания процессов

Трудности аналитического описания процесса разде­ления усложняют) систематизацию накопленных экспе­риментальных материалов. При современном уровне развития теории не удается полностью исключить появ­ление недостаточно согласованных трактовок результа­тов исследований, проведенных] различными авторами. В связи с этим поиск условий соблюдения подобия про­текания процессов остается одним из перспективных направлений в исследованиях вихревых аппаратов.

Одним из первых вопрос об условиях подобия про­цессов в камере энергетического разделения рассмотрел А. И. Гуляев. Разрабатывая гипотезу противоточного — теплообмена, он принял допущение, что в подобных вих­ревых трубах с установившимся адиабатным ламинар­ным течением вязкого газа имеют одинаковые значе­ния: показатель адиабаты k — cvjcv, числа Маха М= = w/a (а — скорость звука), Рейнольдса Re, Прандтля Рг. Величина ja задана краевыми условиями. Поскольку перенос теплоты в вихревой трубе обусловлен в основ­ном свободной турбулентностью, не зависящей от ха­рактера течения в ядре потока, в геометрически подоб­ных трубах интенсивность переносу слабо зависит от числа Рейнольдса Re, влияние которого можно учесть через число Стантона St=<p(Re), не включая Re в оп­ределяющие критерии. Не является определяющим и число Рг, изменения которого не влияют на характер процессов переноса в газах. При числе Маха M = idem следует, что в геометрически подобных трубах должны ■соблюдаться условия & = idem, e=idem, ^ = idem, т] = = idem. В опытах с геометрически подобными трубами произвольно выбирают k, Г, ц и Тс, поэтому сделан вы­вод о необходимости и достаточности этих величин для подобия процессов. Неизменность TlJ является следст­вием подобия ті = ф(/г, е,

При отсутствии решения уравнений движения ис­пользуют метод анализа, размерностей [33]. Основная трудность состоит в выборе необходимых и достаточ­ных переменных, характеризующих процесс вихревого энергетического разделения. Попытки использовать все •без исключения переменные, влияющие на эффект, при­вели к выводу функционального уравнения, содержа­щего 11 безразмерных комплексов. Решение уравнения получить не удалось, поэтому его невозможно исполь­зовать при анализе процесса.

Эффективны предварительная ранжировка парамет­ров в рамках принятой модели вихревого эффекта и вы­бор переменных, наиболее существенных для процесса. В работе Б. Н. Калашникова такими переменными при­няты расход сжатого газа Gc, момент количества дви­жения потока М\, внутренняя1 энергия потока Еи рас­ход охлажденного газа Gx, плотность газа перед диаф­рагмой q2, диаметр вихревой трубы в сопловом сечении Do, удельные теплоемкости при постоянном давлении •Ср и при постоянном объеме с». Из этих восьми пере­менных составлено четыре независимых безразмерных комплекса: j. i=Gx/Gc; n = Q2M1D0/G2c, M = ML/D0~]/EiGc);

■It = Ср/cv.

Уменьшение энтальпии охлажденного газа по сравне­нию с энтальпией поступающего газа

2 Щ

А/, = ——-<р(ц, п, т, к),

Где множитель перед функцией представляет собой удельную кинетическую энергию газа на выходе из сопла.

Если газ вводится через сопла, тангенциально рас — тюложенные на расстоянии 0,5Di от оси Трубы, тО М\ = = 0,5GibuiЈ>i; E1 = cvTiGЬ Тогда m = 0,5yk(k— 1)аУі/а — величина, пропорциональная числу Маха M=wja; п = = (2/n)0,25wiQ2nD2i/Gi — величина, пропорциональная числу Россби Ro = Wi/Wa. Число Россби, применяемое в Метеорологии, представляет собой отношение танген­циальной скорости на выходе из сопла к осевой скоро­сти. В данном случае осевая скорость определена как отношение расхода газа через вихревую трубу к пло­щади СОПЛОВОГО сечения При ПЛОТНОСТИ g2.

Если истечение из вводных сопел критическое, а от­верстие в диафрагме достаточно велико, и потерями на диафрагме можно пренебречь, то, считая газ термоди­намически идеальным и пренебрегая изменением его темпзратуры по радиусу в сопловом сечении, получим АГХ = і<У2іф (fJL. Tl) . Усреднение осевой скорости газа в вихревой трубе, которое используют Б. Н. Калашни­ков и другие, физически не оправдано. Действитель­но, в вихревой тріубе создаются периферийный (нап­равленный к дросселю) и приосевой (направленный к диафрагме) потоки, что не позволяет считать справедли­вым выражение ayiQ2nD2i/(4Gi) =wjwa.

Рассмотренную в работе Б. Н. Калашникова систе­му переменных целесообразно проанализировать в со­ответствии с требованиями метода анализа размерно­стей. Решение задачи с точностью до постоянной мож­но получить только в случае, если разность между числом существенных для процесса переменных и чис­лом размерностей основных физических величин рав­на 1. При этом единицы измерения должны быть не­зависимы, но например Е\ = G{TiCv и cv имеют зави­симые единицы.

Введем масштабы геометрических D\ и газодина­мических GC = G] параметров. Момент количества дви­жения потока Mi и внутренняя энергия потока Е{ ха­рактеризуют энергию, вводимую в камеру энергетиче­ского разделения с рабочим телом. Зависимой перемен­ной, к определению которой сводится анализ, являет­ся разность энтальпии Аіх. В качестве характеристики охлажденного потока примем плотность д2 газа в вих­ревой трубе перед диафрагмой. Поскольку перепады давлений и температур на диафрагме невелики, можно принять Аіх = іс — іх=Ср(Тс — Тх) =ср(Тс—Г2) =Аt2. В результате получена система, связывающая шесть величин (ДІ2, Mi, Ei, DЬ Gc и q2), существенных для характеристики вихревого эффекта. Размерности этих шести величин представляют собой произведения раз­мерностей трех основных величин — длины, массы и времени (табл. 1).

Таблица 1 Основные параметры Показатель степени Основных единиц Обозна­ Единнца Параметр Чение Длнны Массы Времен» Разность энтальпий Д Н M2/cs 2 0 —2 Расход сжатого газа О. Кг/с 0 1 —1 Диаметр вихревой трубы Dc М 1 0 0 Момент количества движения Мг Кг-м2/с 2 1 —1 Потока Внутренняя энергия потока Ег Кг-м2/с2 2 1 —2 Плотность охлажденного потока Р2 Кг/м3 —3 1 0

Функциональное уравнение разности энтальпий име­ет вид At2 = cp(Gi, Dі, Mi, Ei, q2). Согласно л-теореме„ устанавливающей связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмер­ной форме [33], для указанных шести параметров су­ществуют три независимых безразмерных комплекса: ni = Ai2GiD2i/M2i; n2 = M\/(D2iElG,); я3 = ез M. D./G2,. Уравнение связи комплексов имеет вид

ЛІ = Ф (я*> яз)- (6)

Считаем, что газ вводится в камеру энергетического разделения через распределенные тангенциальные соп­ла малой высоты; тогда M\ = GxwiDij2. Кроме того, полагаем газ идеальным (P=QRT), течение в соплах изоэнтропийным и G] = GC. Тогда

Мх0Р\ ШХ0\1У\ 4Д/Х А

Я, = —————————————— =————————— = ————— = 4Т1т,

М\ GlLPrf w\

Так как ixs»i2, aw2i = 2(ii — is), где ii — is — изоэнтропий — ный перепад энтальпий,

М\ _ WjD\G\ _ wj

* TfEiGc Tfj\cvTfi\ 4 д2 ‘

Где Яі — местная скорость звука на срезе сопла.

В этих выражениях ■D = Dx/Dl(Dx— диаметр отверстия диафрагмы); w2— усредненная скорость течения газа через диафрагму.

При є>3 истечение газа из сопл является критиче­ским. Тогда w2i/a2i = l и для данного газа n2 = const, а функциональное уравнение получает вид

П, = Const (7)

Для дальнейших расчетов принимаем, что в сопло­вом сечении камеры разделения установилось изоэнт — ропийное распределение параметров по радиусу и

Я3 = — JL = _£_ f (8)

Я ґ я FCPiT2

Где FC = 4FJ(ND2I); здесь Fc — суммарная площадь се­чения сопл.

Так как на срезе сопла параметры критические получим

3 Я V 2 ) FcPcTz v ‘

Течение в сопловом сечении изоэнтропийное [Тс/Т2 = = (Рс/р2) <ft-‘>/ft] и

2 / k+ 1 \l/(ft-l) 1 Я’ = т(-Н 7Й(10)

Где г2 — отношение давлений газа перед соплом и пе­ред диафрагмой.

При малом расходе газа через диафрагму перепа­дом давлений можно пренебречь. Этот режим харак­терен для ^<0,25, т. е. для режима максимальной тем­пературной эффективности. Тогда

2 / k+ 1 \ 1/(4-1) 1 /11ч

И уравнение (7) с учетом (11) приводим к виду т)т = const ф^-^-).

Таким образом, для сохранения газодинамического подобия при максимальной температурной эффективно­сти необходимо и достаточно поддержание неизменным критерия Fcel/H. Постоянная в формуле (12) зависит от физических свойств газа, абсолютной температуры, и плотности газа за диафрагмой и может быть опреде­лена экспериментально.

Для проверки выводов метода анализа размерно­стей и определения постоянной в выражении (12) про­ведено экспериментальное исследование. Теплоизоли­рованная вихревая труба (Z)[ = 40 мм)) выполнена со сменными соплами относительной площадью от 0,044. до 0,102. Давление перед соплами изменяли от 0,2 до 1,8 МПа при постоянном давлении за диафрагмой. На рис. 10 приведена зависимость коэффициента темпера­турной эффективности т|т и оптимальной площади се­чения соплового ввода от степени расширения є. Се-

Мейство максимумов эффективности описывается урав­нением

Fcei/k = 0,327. (13)

То обстоятельство, что с повышением є несколько сни­жается максимум коэффициента температурной эф­фективности, объясняется влиянием гидравлического сопротивления диафрагмы, диаметр которой во время опытов не изменяли. С увеличением е от 5 до 16,5 рас­ход сжатого газа при оптимальном режиме работы уве­личился на 41%, соответственно возрос и расход ох­лажденного потока.