ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СТЕНКИ

Передача теплоты через цилиндрическую стенку имеет большое практиче­ское значение, так как многие теплотехнические агрегаты (теплообменные аппараты, гильзы цилиндров двигателей внутреннего сгорания и другие) имеют элементы в виде цилиндрических труб. Передача теплоты теплопро­водностью в цилиндрической стенке происходит по тем же законам, что и в плоской стенке. Различие заключается лишь в том, что плоская стенка имеет поверхности одинаковые по площади, а у цилиндрической площадь внутренней поверхности всегда меньше наружной.

Рассмотрим цилиндр длиной L (рис. 14.4). Внутренняя и внешняя пло­щади поверхностей цилиндра Si и 52 имеют температуры соответственно Ti иТ2, причем Ti > Т2. Тепловой поток направлен по нормали к поверх­ности цилиндра (по радиусам ее сечений) изнутри наружу. Внутренний и наружный диаметры равны соответственно D\ и d2. Теплопроводность материала стенки постоянна и равна А.

У , Рис. 14.4. К расчету теплопроводности цилиндрической стенки

Q

Ш

Для того чтобы воспользоваться законом Фурье, выделим внутри стен­ки кольцевой слой радиусом г и толщиной dr. Тепловой поток, проходящий

Через этот слой, равен

Ф = A(-gradT)L = — А ^ 2тгг£, [Вт], (14.11)

Аг

Где L — высота (длина) цилиндра.

Разделив переменные в выражении (14.11), получаем

27ГА L Г

Интегрируя это уравнение в пределах изменения радиуса от Г\ до г2 и температуры от Ti до Т2 получим:

Та г2

Ti п

Отсюда определяем тепловой поток, прошедший через стенку,

Ф = |^(Г1_Т2) = ^:(Г1_Г2)) [Вт]. (14.12)

RL Dl Так как площади внутренней и внешней поверхностей различны, то различными оказываются и соответствующие плотности потока. По этой причине в теплотехнических расчетах тепловой поток относится к единице длины цилиндрической стенки:

Где (рь — линейная плотность теплового потока; iLCT = In~ — терми-

27ГА di

Ческое сопротивление цилиндрической стенки, м2 — К/Вт.

Определить термическое сопротивление цилиндрической стенки доста­точно сложно, поэтому для приближенного расчета его часто определяют по более простой формуле плоской стенки:

R = 6/ А.

Чем меньше отношение диаметров d2/di, тем меньше ошибка в вычис­лении термического сопротивления по упрощенной формуле. Установлено, что при отношении rf2/di = 2 формула (14.13) дает ошибку, равную 4%, а при rf2/di = 1.5 ошибка уменьшается до 1.4%.

Обычно в трубчатых теплообменных аппаратах, в цилиндрах двигате­лей внутреннего сгорания отношение диаметров не превышает 1.5, поэтому при расчете теплопроводности в этих случаях можно пользоваться форму­лами для плоской стенки.

Количество теплоты, прошедшее через цилиндрическую стенку длиной L за t секунд, определяется как обычно:

Q = *t, Щж]. (14.14)

Поток энергии в тепловой форме

Ь3 ь2 Bj

Ь2 Ьз

Рис. 14.5. К определению теплопроводности трехслойной цилиндрической стенки

Для трехслойной цилиндрической стенки (рис. 14.5) на основании вы­ражения (14.13) можно записать:

In — ln^ In —

D\ da

Решая эти уравнения относительно разностей температур, а затем, почленно складывая, получим

4>l ( 1 , d2 , 1 , d3 , 1 , dA

1 4 27Г (Ai d\ A3 da A3

Отсюда

2Ж • (Тх — T4) VL J-ln^ + J-ln^ + i-ln^i"

Ai D\ Aa D2 A3 d3

Обобщая формулу (14.15) на n-слойную стенку, найдем

(14.15) (14.16)

_ 2п • (Тх — Tn+I)

А< di

Где i — порядковый номер слоя.

Дальнейшее определение величин Ф и Q не представляет сложности.