ОГРАНИЧЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН. ЦИКЛ КАРНО. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

Заметим, что в ходе рассмотренного выше термодинамического цикла энергия в тепловой форме как подводилась к системе (газу), так и от­водилась от нее. В этом случае результирующее количество энергии в тепловой форме Q, которой обмениваются термодинамическая система и окружающая среда в ходе циклического процесса, равно

Q = <?подв — QOtb = Ql— <?2, (8.13)

Где фподв = Qi — количество энергии в тепловой форме, которое подводится из окружающей среды к системе в ходе процесса; Q^ = Q2 — количество энергии в тепловой форме, которое отводится от системы в окружающую среду в ходе процесса.

Подставляя выражения (8.12) и (8.13) в выражение (8.5), получим

AU = (Qx — Q2) — (Wpacm — W^). (8.14)

Так как в ходе циклического процесса рабочее тело возвращается в исходное состояние (точку 1\ рис. 8.8), изменение его внутренней энергии за цикл равно нулю:

АС/ = mcv(Гкон — Тнач) = mcv(Ti — 7\) = 0, [Ткон = Гнач = Tib

Где т — масса рабочего тела (газа); cv — теплоемкость газа при постоянном объеме; Тнач = 7\ — температура рабочего тела в начале цикла; Ткон = — температура рабочего тела в конце цикла.

В этом случае выражение (8.14) можно представить в виде

(8.15)

Рез

Q1-Q2 = Wpeз.

Выражение (8.15) показывает, что результирующая работа цикла W^ равна разности между количеством энергии Qi, подведенной к рабочему телу в тепловой форме, и количеством энергии Q2, отведенным от рабочего тела в тепловой форме. На основании выражения (8.15) логически возника­ет вопрос: «Как организовать циклический процесс, чтобы при заданном количестве Q\ подведенной к рабочему телу энергии в тепловой форме отвести от него максимальное количество энергии в механической форме

Q\-Qi — Wpe3 —► max, [Qi = idem].

Организовать такой циклический процесс на протяжении более 18 веков не представлялось возможным. Дело было не в технической сложности организации циклического процесса, а в неясности условий, необходимых для его реализации.

Впервые правильно поставил и решил эту задачу военный инженер Сади Карно (1796-1832 гг.) —сын военного министра при Наполеоне и дядя будущего президента Французской республики. Он прожил короткую, но яркую жизнь, оставив в науке глубокий след. За свою жизнь он опубликовал всего лишь… одну книгу сРазмышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», вышедшую в 1824 г. Вначале эта работа осталась почти не замеченной в научных кругах. Она не оказала тогда влияния на развитие науки и техники. По достоинству работа Карно была оценена лишь после его смерти, когда была издана Б. Клапейроном в 1834 г. с его комментариями. Причиной такого запозда­лого признания труда С. Карно явилось то, что большая часть приводимых в ней выводов была получена на основании материальной («теплородной») теории, доверие к которой в то время уже было сильно подорвано.

Карно был первооткрывателем одного из основных законов термоди­намики — ее второго начала, определяющего возможность осуществления, направление и пределы развития термодинамических процессов.

Огромная заслуга Карно состоит и в том, что он был основателем теории циклов (циклических процессов).

Наблюдая действие паровой машины, Карно понял, что суть происходя­щих в ней процессов заключается в следующем. Некоторое количество воды попадает в котел, где она превращается в пар. Пар поступает в цилиндр, где расширяется, перемещая поршень. Затем пар выпускается в холодильник (конденсатор), где он снова превращается в жидкую воду (конденсируется).

Карно, прежде всего, осознал, что одно нагретое тело само по себе не может производить работу. Для того чтобы построить тепловой двигатель, необходимо, кроме нагретого тела (нагревателя), иметь еще и второе тело с температурой более низкой (холодильник).

В обычной паровой машине нагреватель — это котел, в котором во­да превращается в пар (он является рабочим телом), а холодильник — конденсатор, в котором пар, совершивший работу (отдавший часть своей

Теплорода 2 Рис. 8.9. Условная схема работы теплородной машины Карно

Внутренней энергии в механической форме окружающей среде —поршню парового двигателя), конденсируется, снова превращаясь в воду. Как ви­дим, кроме нагревателя и холодильника должно существовать некоторое рабочее тело — жидкость или газ, которое переносит тепловую энергию и «по дороге» совершает работу.

Карно сумел понять важный научный факт: чтобы паровая машина работала непрерывно (циклически), она должна отдавать тепло (энергию в тепловой форме) охлаждающей воде в конденсаторе, а не только поглощать тепло (энергию в тепловой форме) от топлива в котле. Иначе говоря, для непрерывного совершения работы необходима передача части тепловой энергии от высокотемпературного источника — огня к низкотемпературно­му стоку — охлаждающей воде.

Следует отметить, что Карно при конструировании своего цикла ис­пользовал метод аналогий, опираясь на теплородную теорию теплоты. Схема машины Карно показана на рис. 8.9. Поток теплорода Qi (ширина полосы соответствует ее количеству) «падает» с температуры Т\ («с высо­ты /i!») на более низкую температуру Т2 < («на высоту При этом производится работа W по поднятию груза. Нетрудно заметить, что такое объяснение работы тепловой машины возникло по аналогии с гидравли­ческой машиной (например, водяной мельницей), только роль воды играет «теплород», а напора, обусловленного высотой падения воды Ah = hi— h2 — Разность температур AT = 7\ — Т2. Количество воды G, как и количество теплорода Qi, не меняется — сколько входит, столько и выходит (Q2 = Qi)- На первых порах такая теория была вполне приемлемой, тем более что го нее следовал правильный вывод: тепловая машина может работать только при наличии разности температур (как и водяная мельница — только при наличии разности высот воды). Если AT = 0, то теплота будет «мертвой» (неработоспособной), как «мертвая вода» Леонардо да Винчи при Ah = 0.

Теплород можно уподобить зубчатой полосе (рис. 8.9), которая при падении с некоторой высоты hi на высоту h2 вращает зубчатое колесо, совершая работу. Если нет разности высот, то нет вращения зубчатого колеса, а поэтому нет и работы. Тем не менее, это всего лишь абстракции.

Сначала мы сами проведем некоторые обобщающие рассуждения с целью поиска такой схемы циклического процесса, при которой можно получить максимум полезной работы (энергии в механической форме). Под понятием «полезная работа» будем понимать ту часть положительной ра­боты, которую можно использовать по своему усмотрению в окружающей среде.

Решение поставленной проблемы заключается в поиске такой сово­купности и последовательности простейших термодинамических процессов (изохорного, изотермического, изобарного, адиабатного или политропиче­ского), которая обеспечивала бы максимальный КПД цикла. Выясним физический смысл, который закладывается в понятие «КПД цикла». Циклический процесс в расширительной машине осуществляется с целью преобразования энергии из тепловой формы в механическую форму. Ко­личество энергии И^з, которое отводится от тепловой машины в окру­жающую среду в механической форме, представляет полезный эффект. В ходе циклического процесса к рабочему телу подводится энергия в тепловой форме в количестве QВполне естественно, что на практике стремятся достичь такой эффективности работы тепловой машины, чтобы всю подводимую к рабочему телу энергию Qi преобразовать из тепловой формы в механическую форму (W^ = Qi).

Однако в ходе циклического процесса, как мы убедились ранее, часть подводимой энергии в тепловой форме Q2 отводится от рабочего тела обратно в окружающую среду при замыкании цикла. Следовательно, не вся подводимая тепловая энергия Qi преобразуется в полезную работу[2]Wpes — КПД цикла в этом случае представляет собой отношение полезного эффекта Wp^ к желаемому (W^ = Qi):

КПд = Полезный эффект _ W^ = Qx-Q2 lgv

Желаемый эффект Qx Qi

С геометрической точки зрения работа (количество механической энергии) интерпретируется площадью под графиком процесса в V-p— Координатах (индикаторная диаграмма). Для сжатия рабочего тела тре­буется подвод к поршню (рис. 8.1) энергии в механической форме извне. Эту работу по сжатию рабочего тела считают отрицательной величиной (знак указывает только на то, что работа совершается не рабочим телом, а окружающей средой над ним). Если рабочее тело расширяется, оно само совершает работу над поршнем, которую считают положительной. Сле­довательно, чтобы цикл имел максимально возможный КПД, необходимо получить максимум работы при расширении рабочего тела и затратить минимум работы при его сжатии.

С геометрической точки зрения на графике в V-р-координатах (рис. 8.5) линия процесса расширения 3~4~1 должна располагаться на максимально возможном удалении от оси V (максимальная положительная работа), а линия процесса сжатия 1-2-3— на минимальном удалении от оси V (минимальная отрицательная работы). Разность этих площадей представ­ляет собой полезную (результирующую) работу цикла Чем больше разность этих площадей (фигура 1-2-3-4-1\ рис. 8.5), тем больше полезная работа Wpea, которую можно использовать в окружающей среде (для привода автомобилей, танков, самолетов, станков и других устройств).

Следовательно, при организации в расширительной машине цикличе­ского процесса необходимо выбрать такую комбинацию ранее рассмотрен­ных процессов, чтобы на индикаторной диаграмме площадь фигуры под линией расширения была максимальной, а под линией сжатия — минималь­ной.

Несмотря на ложность исходного положения о неуничтожимости тепло­рода, Карно приходит к правильным выводам о том, в каком направлении происходит процесс в тепловой машине и каково условие его наиболее выгодного использования.

Чтобы понять цикл Карно, необходимо глубже уяснить функциональное назначение тех устройств, которые в нем участвуют. К ним относятся (рис. 8.10):

1. Рабочий цилиндр с идеальным газом, закрытый идеально пригнанным, легко, без трения, движущимся поршнем. Поршень через шатун связан с кривошипным механизмом. Поршень совершенно не проводит тепла (идеализация). Стенки цилиндра являются идеальным проводником тепла. Эти стенки будем считать нематериальными, т. е. не имеющи­ми толщины (идеализация), поэтому их теплоемкость равна нулю (не тратится тепловая энергия на их нагрев).

2. Нагреватель (высокотемпературный источник тепловой энергии), пред­назначенный для нагревания рабочего тела, обладает неограниченным запасом тепловой (внутренней) энергии. Это означает, сколько бы теп­ловой энергии мы не отобрали от него, его температура остается без изменения (7\ = idem). Если температура нагревателя при отборе от него тепловой энергии в любом количестве не изменяется, запас внут­ренней энергии в нем бесконечно большой. Такие источники тепловой энергии называют тепловыми резервуарами или термостатами. При­мером термостата может служить окружающая среда. Из нее можно отнимать тепловую энергию в любом количестве, не заметив изменения температуры. Эта энергия восполняется Вселенной.

3. Холодильник (низкотемпературный источник тепловой энергии), пред­назначенный для охлаждения рабочего тела и способный поглощать неограниченное количество энергии в тепловой форме без изменения своей температуры (Т2 = idem). Такой холодильник также называют тепловым резервуаром или термостатом. Примером термостата может служить окружающая среда в случае поглощения энергии в форме теплоты.

Пусть в цилиндре расширительной машины (рис. 8.11) находится ра­бочее тело (газ). Поршень находится в ВМТ, в результате чего рабочее тело максимально сжато. На индикаторной диаграмме, представленной на рис. 8.12, этому состоянию рабочего тела соответствует точка 1. Предо­ставим рабочему телу возможность расширяться и совершать при этом

Рабочее тело Рис. 8.10. Идеализированная схема теплового двигателя

Idem

Отвод энергии в механической форме W Гг расш

Рис. 8.11. Расширение рабочего тела в расши­рительной машине при постоянной температуре

ООО о О ОО о

Положительную работу против действия внешних сил. Процесс расширения рабочего тела проведем в два этапа.

Первый этап расширения — от точки 1 до точки 2 по индикаторной диаграмме (рис. 8.12). На этом этапе рабочее тело через стенку цилиндра находится в постоянном контакте с нагревателем (рис. 8.11). При расши­рении внутренняя энергия газа преобразуется в механическую (кинетиче­скую) энергию подвижных частей окружающей среды путем совершения работы, поэтому внутренняя энергия рабочего тела должна понижаться, и, следовательно, должна понижаться его температура. Однако за счет постоянного притока тепловой энергии от нагревателя с температурой 7\ на этом этапе расширения температура рабочего тела поддерживается по­стоянной и равной Ti = Idem (изотермический процесс). На индикаторной диаграмме (рис. 8.12) изотермический процесс расширения рабочего тела при подводе тепловой энергии к нему изображается линией 1-2. Таким образом, в процессе 1-2 внутренняя энергия рабочего тела не изменяется (Af/ = 0;f/2 = f/1).

Второй этап расширения — от точки 2 до точки 3 по индикаторной диаграмме (рис. 8.12). На этом этапе тепловое взаимодействие между рабочим телом и нагревателем отсутствует (рис. 8.13). На цилиндр как бы устанавливают тепловой изолятор. Рабочее тело продолжает расширяться без подвода тепловой энергии, совершая при этом работу по перемеще­нию поршня (энергия передается поршню в механической форме). Такой процесс расширения называют адиабатическим. Внутренняя энергия тела уменьшается, поскольку она превращается в кинетическую энергию по­движных частей (окружающая среда) посредством работы (механического взаимодействия). Следовательно, температура рабочего тела уменьшается от Ti до Т2, соответствующей точке 3 на индикаторной диаграмме. Так как тепловая энергия не подводится к рабочему телу и не отводится от него, то процесс расширения адиабатический. На индикаторной диаграмме (рис. 8.12) он показан линией 2-3. Точка 3 на индикаторной диаграмме соответствует положению поршня в НМТ.

Чем обусловлена именно такая последовательность проведения процесса расширения рабочего тела, сначала — изотермически, а затем адиабатиче­ски?

Первый этап расширения 1-2 (рис. 8.12) должен проходить при условии расположения линии расширения на максимальном удалении от оси объе­мов, что позволит получить максимально возможную работу расширения. Этому условию больше всего удовлетворяет изотермический процесс. На индикаторной диаграмме изотерма проходит плавно (снижается мало). Второй этап расширения 2-3 является конечным, поскольку поршень должен прийти в положение НМТ. Его необходимо провести так, чтобы конечная точка 3 процесса находилась на минимально возможном удале­нии от оси объемов, поскольку после полного расширения рабочего тела должен последовать процесс его сжатия с целью замыкания циклического процесса. Поэтому на втором этапе 2-3 расширение рабочего тела необхо­димо провести так, чтобы совершалась положительная работа при резком падении давления. Этому условию удовлетворяет адиабатический процесс, так как адиабата проходит круче изотермы. Из индикаторной диаграммы видно, что изотерма 1-2 проходит положе, чем адиабата 2-3.

В процессе расширения рабочего тела 1-2-3 от него отводится энергия в механической форме (путем совершения работы Wpacm).

После завершения процесса расширения (точка 3) рабочее тело будет сжиматься из-за обратного движения поршня. Сжатие рабочего тела осу­ществляется также в два этапа.

| Отвод энергии) ! в механической* I__

Рис. 8.13. Расширение рабочего тела в расширительной машине без теплообме­на с окружающей средой

Подвод энергии в тепловой форме —Ъ————————————-

Отвод энергии в тепловой форме

Рис. 8.12. Индикаторная диаграмма прямого цикла Карно

Первый этап сжатия осуществляется от точки 3 до точки 4 (рис. 8.12). На этом этапе сжатия рабочее тело через нематериальную стенку цилиндра приводится в контакт с холодильником (рис. 8.14).

Отвод энергии «I Тепловой форм]

Рис. 8.14. Сжатие рабочего тела в рас­ширительной машине при постоянной температуре

ООО о оо о о ООООО ООООО Оо

Vtf§%3i Цо

S4 3

Рис. 8.15. Адиабатическое сжатие Par Бочего тела в расширительной машине без теплообмена с окружающей средой

II

При сжатии к рабочему телу подводится энергия извне в механической форме (путем совершения работы сжатия И^ж, которая отрицательна). Внешняя энергия посредством работы преобразуется во внутреннюю энер­гию рабочего тела. В процессе сжатия 3-4 внутренняя энергия рабочего тела должна возрастать, поэтому должны возрастать его температура и давление. Чем круче проходит кривая сжатия, тем больше ее удаление от оси объемов, тем больше механической энергии (работы) затрачивается на сжатие рабочего тела. Необходимо, чтобы на начальном этапе сжатия кривая 3-4 на индикаторной диаграмме (рис. 8.12) не поднималась круто, а была пологой. Как мы уже убедились ранее, этому условию удовлетворяет изотермический процесс (Т2 = Idem). Именно поэтому на первом этапе сжа­тия рабочее тело приводят в контакт с холодильником, в который отводится энергия в тепловой форме. Таким образом, приведение рабочего тела в кон­такт с холодильником на первом этапе сжатия обеспечивает минимизацию энергетических затрат за счет протекания процесса по изотерме 3-4.

Второй этап сжатия —от точки 4 Д° точки 1 (исходной точки) по индикаторной диаграмме (рис. 8.12). Для того чтобы замкнуть цикл, последний (второй) этап сжатия необходимо провести более круто (для замыкания цикла в точку 1). Нетрудно понять, что последний этап сжатия 4~1 рабочего тела должен происходить без обмена энергией в тепловой форме с окружающей средой, т. е. быть адиабатическим (рис. 8.15), так как адиабата значительно круче изотермы.

Таким образом, в результате осуществления четырех процессов цикл Карно замыкается в точке 1. Рабочее тело прошло полный замкнутый цикл, а поршень совершил два хода (такта). При этом следует заметить, что в цикле Карно рабочее тело не покидает пределов системы (не вы­брасывается наружу), т. е. рассматриваемая термодинамическая система (рабочее тело) не обменивается веществом с окружающей средой (является закрытой).

Теперь оценим суммарный результат рассмотренного циклического про­цесса. Индикаторная диаграмма цикла Карно представлена на рис. 8.12. На этапах расширения 1-2 и 2-3 газ совершал положительную работу (энергия отводилась от рабочего тела в окружающую среду в механической форме); на этапах сжатия 3-4 и 4~1 работа совершалась над газом (ей приписывается знак «минус»). Следовательно в процессе расширения термодинамическая система (газ) совершает работу над окружающей сре­дой (перемещает поршень, с которым может быть связан любой агрегат, устройство), а в процессе сжатия окружающая среда (поршень) совершает работу над термодинамической системой (газом). Площадь 1-2-3-6-5 на индикаторной (рабочей) диаграмме эквивалентна энергии И^расш, отво­димой от рабочего тела в окружающую среду в механической форме. Площадь 3~4~1-5-6 эквивалентна энергии И^ж, подводимой к рабочему телу из окружающей среды в механической форме.

На рис. 8.12 видно, что разность между работой (площадь 1-2-3-6-5), Выполненной системой (газом) над окружающей средой (поршнем), и работой (площадь 3-4-1-5-6), выполненной окружающей средой (порш­нем) над системой (газом), равна результирующему количеству работы (энергии) Жрвз, выполненной термодинамической системой за цикл. Эту результирующую работу называют еще полезной, так как она может быть отведена в окружающую среду и больше в цикл не возвращена. По­лезная работа цикла И^з численно равна площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой 1-2-3-4-1.

В соответствии с выражением (8.16), КПД рассмотренного цикла равен

Площадь 1 -2-3-4 -1

КПД цикла =

Площадь 1-2-3-6-5-1 *

Если внимательно посмотреть на рис. 8.12, можно заметить, что цикл может осуществляться в двух направлениях:

• первое направление — по ходу часовой стрелки (изотермическое рас­ширение 1-2; адиабатическое расширение 2-3; изотермическое сжатие 3-4; адиабатическое сжатие 4~1)\

• второе направление — против хода часовой стрелки (адиабатическое расширение 1-4; изотермическое расширение 4~3; адиабатическое сжа­тие 3-2; изотермическое сжатие 2-1).

В первом случае цикл называют прямым. Во втором случае цикл называется обратным.

Если совершается прямой цикл, то рабочее тело передает свою внут­реннюю энергию окружающей среде в механической форме. Если цикл совершается в обратном направлении, то рабочее тело получает энергию из окружающей среды в механической форме. Как будет установлено в дальнейшем, рабочему телу для замыкания циклического процесса (как прямого, так и обратного) все же необходимо будет сбросить часть энергии в окружающую среду в тепловой форме.

Тепловая машина, работающая по прямому циклу, называется тепловым двигателем.

Нагреватель У»" а 1] ЯШ- Г^гч-2 \ \ \ \ \ \ \ 1 \ { 2i>Q2 4* 3 4 > / / / / / / V Hff \ г 1 Холодильник Рис. 8.17. Условная схема работы теп­ловой машины Карно по обратному циклу

Нагреватель Холодильник Рис. 8.16. Условная схема работы теп­ловой машины Карно по прямому циклу

If	/ / / / / 1 WPei\
* § Ъ *
В * 11 Б; I	1 1 \ \ \ \ \ \

I

| S S * S з С %

Результат цикла, происходящего по ходу часовой стрелки, представлен на рис. 8.16 и заключается:

• в поглощении рабочим телом энергии Qi в тепловой форме от высоко­температурного источника (теплового резервуара);

• в отдаче рабочим телом энергии в форме теплоты Q2 низкотемператур­ному источнику (тепловому резервуару);

• в отдаче рабочим телом части полученной в тепловой форме энергии Qi окружающей среде в механической форме W^3.

Для цикла, проходящего против хода часовой стрелки (рис. 8.17), ре­зультат состоит:

• в получении рабочим телом энергии в форме теплоты Q2 от низкотем­пературного источника;

• в получении рабочим телом энергии в механической форме из окружа­ющей среды Wpe3\

• в отдаче рабочим телом высокотемпературному источнику части энер­гии Qi в тепловой форме.

Сравним результирующий эффект циклов, происходящих в прямом и обратном направлениях между одними и теми же источниками тепловой энергии с температурами Ti и Т2.

В прямом цикле (рис. 8.16) в изотермическом процессе 1 -2 (Ti = Idem) От нагревателя к рабочему телу подводится энергия в тепловой форме в количестве Qi. В этом же процессе от рабочего тела отводится энергия в механической форме численно равная площади фигуры под графи­ком процесса 1-2. В процессе 2-3 рабочее тело адиабатически расширяется (рабочее тело и окружающая среда не обмениваются энергией в тепловой форме), но от рабочего тела отводится в окружающую среду энергия И^-з в механической форме, численно равная площади фигуры под графиком процесса 2-3.

Таким образом, в процессе расширения 1-2-3 к рабочему телу подводит­ся энергия в тепловой форме в количестве Qi, а отводится в механической форме в количестве W\-2 + И^-з? численно равном площади фигуры под графиком процесса 1-2-3.

В изотермическом процессе сжатия 3-4 (Т2 = Idem) в холодильник от рабочего тела отводится энергия в тепловой форме в количестве Q2. При этом на сжатие рабочего тела затрачивается энергия И^з-4 в механической форме, численно равная площади фигуры под графиком процесса 3~4- В процессе 4~1 происходит адиабатическое сжатие рабочего тела, на что затрачивается энергия в количестве, численно равном площади фигуры под графиком процесса 4~1- В точке 1 цикл замыкается.

Так как цикл замыкается, изменение внутренней энергии рабочего тела за цикл равно нулю. На основании выражения (8.15) с учетом правила термодинамических знаков можно записать

Ql—Q2 = W1-2 + W2.3 — ИЪч — W4-1 = Жрез. (8.17)

Выражение (8.17) можно представить в виде

Ql—Q2= Wpea = Wr-2-3 — W3-4-1 = wpacin — WaK, (8.18)

Где И^расш — количество энергии в механической форме, которое отводится от рабочего тела в процессе расширения 1-2-3; W^ — количество энергии, которое передается рабочему телу в механической форме в процессе сжатия 3-4-1.

Из сравнения площадей фигур под графиками 1-2-3 и 3-4-1 видно, что Wpacin > ^сж. Таким образом, в прямом циклическом процессе от рабочего тела в окружающую среду отводится энергия в механической форме И^з, численно равная площади фигуры 1-2-3-4-1.

Положительный эффект прямого цикла Карно (рис. 8.16) состоит в пре­образовании части энергии из тепловой формы (Qi — Q2) в механическую форму И^рез и отводе ее в окружающую среду.

В обратном цикле (рис. 8.17) в адиабатном процессе 1-4 рабочее тело расширяется. В результате расширения от рабочего тела в окружающую среду отводится энергия W1-4 в механической форме, количество которой равно площади фигуры под графиком процесса 1~4. Так как в этом процессе энергия в тепловой форме к рабочему телу не подводится и не отводится от него (Q = 0), отвод энергии W1-4 в механической форме приводит к уменьшению его внутренней энергии (Af/i_2 < 0). Это приводит к уменьшению температуры рабочего тела от Ti до Т2 (внутренняя энергия тела зависит только от его температуры).

В процессе 4~3 рабочее тело продолжает расширяться, в результате чего в окружающую среду от него отводится энергия в механической форме в количестве W4_3. Количество отводимой энергии в механической форме W4_3 численно равно площади фигуры под графиком процесса ^-5. В результате отвода энергии в механической форме в количестве W4-3 внутренняя энергия рабочего тела должна уменьшаться, поэтому должна также уменьшаться его температура. Так как в процессе 4~3 рабочее тело находится в контакте с холодильником (низкотемпературным источником энергии), убыль его внутренней энергии компенсируется за счет притока ее извне в количестве ф2, поэтому в процессе 4~3 температура рабочего тела не изменяется (Т2 = Idem).

Таким образом, в процессе 1-4-3 от рабочего тела отводится энергия в механической форме WpgiCni = + W4-3 = Эта энергия численно

Равна площади фигуры под графиком процесса 1-4-3. В этом же процессе рабочему телу передается энергия в тепловой форме от холодильника в количестве Q2.

В процессе 3-2 рабочее тело сжимается адиабатически (Q = 0). В процессе сжатия рабочему телу передается энергия в механической форме в количестве В соответствии с правилом знаков эта энергия отри­

Цательна, так как подводится к рабочему телу из окружающей среды. В процессе сжатия 3-2 внутренняя энергия рабочего тела возрастает, так как подводимая в механической форме энергия И^з_2 преобразуется в тепловую форму. Следовательно, в процессе 3-2 температура рабочего тела увеличивается от Т2 до 7\.

В изотермическом процессе 2-1 (Ti = Idem) рабочее тело продолжают сжимать, затрачивая энергию в механической форме в количестве W2-\. Сжатие должно вызвать увеличение внутренней энергии рабочего тела, и, как следствие, увеличение температуры. Но так как рабочее тело в процессе 2-1 находится в контакте с нагревателем (высокотемпературным источником энергии), то подвод энергии W2-\ в механической форме компенсируется отводом энергии Qi в тепловой форме.

Таким образом, в процессе 3-2-1 на сжатие рабочего тела затрачивается энергия в механической форме, количество которой равно

В соответствии с правилом знаков она отрицательна, так как подводится к рабочему телу из окружающей среды.

На основании выражения (8.15) для обратного цикла можно записать

Q2~Ql = + WVs — WV2 — И^-2 = Wi-4-з — W3-2-1. (8.19)

Выражение (8.19) с учетом принятых обозначений можно представить в виде

Q2-Q1 = Wpacm-WaK. (8.20)

Из сравнения площадей под графиком процесса расширения 1-4-3 (рис. 8.17) и графиком процесса сжатия 3-2-1 видно, что в ходе обрат­ного циклического процесса 1-4-3-2-1 в процессе сжатия рабочему телу передается больше энергии в механической форме, чем в процессе расши­рения (И^сж > WpaciI1). Учитывая этот факт, выражение (8.20) запишем в следующем виде:

<?2 — Qi = И^расш -W^ = Wpe3<0.

Это означает, что Qi > Q2.

Положительный эффект обратного цикла Карно состоит в переносе энергии в тепловой форме от низкотемпературного источника энергии (хо­лодильника) к высокотемпературному источнику энергии (нагревателю) при затрате энергии в механической форме, численно равной

^рез = Wpacin И’еж.

Если прямой 1-2-3-4-1 (рис. 8.16) и обратный 1-4-3-2-1 (рис. 8.17) циклы проходят по одному и тому же пути между одними и теми же источниками тепловой энергии (высокотемпературным Ti и низкотемпе­ратурным Т2), то получаемая в них результирующая работа одинакова:

^рез. прямого = Wpe3. обратного*

Этот факт подтверждается тем, что площадь фигуры 1-2-3-4-1 (рис. 8.16), численно равная результирующей работе прямого цикла, равна площади фигуры 1-4-3-2-1 (рис. 8.17), численно равной результирующей работе обратного цикла.

Этот научный факт, вероятно, осознавал Карно. Примерно по такому пути он строил свои рассуждения.

Существует достаточно много простейших циклов. Многие из них носят имена тех, кто первым их предложил, изучил или применил. В термоди­намике известны циклы Отто (Во де Роша), Дизеля, Брайтона, Эриксона, Стирлинга, Рэнкина. Но самый известный и исторически значительный из всех —это цикл, обоснованный и проанализированный С. Карно. В честь вклада Карно в термодинамику любой циклический процесс, состоящий из двух адиабатических и двух изотермических процессов (рис. 8.12), называют теперь циклом Карно.

Карно сделал очень важный вывод о том, что величина результирующей работы И^рез, которая может быть выполнена в цикле рабочим телом, зави­сит непосредственно от разности температур между высокотемпературным нагревателем и низкотемпературным холодильником.

На рис. 8.18 показаны два случая осуществления цикла Карно. В обоих случаях изотермическое расширение (линия 1-2) осуществляется при тем­пературе Ti = 800 К. В первом случае (рис. 8.18, а) изотермическое сжатие (линия 3-4) происходит при температуре Т2 = 400 К, что на 100 К больше, чем во втором случае (рис. 8.18, б).

Запишем уравнение состояния идеального газа:

PV = mRoT.

Поскольку масса газа и удельная газовая постоянная в ходе циклическо­го процесса не изменяются (га = Idem\ Ro = const), произведение величин в правой части уравнения тем меньше, чем меньше температура Т. Отсюда следует, что чем меньше температура рабочего тела Т при одном и том же его объеме (V = idem), тем меньше его давление р. Следовательно, чем меньше температура холодильника Т2, тем ниже на индикаторной диаграмме (рис. 8.18) располагается линия изотермического сжатия 3~4- Так как результирующая работа И^з численно равна площади между линией расширения 1-2-3 и линией сжатия 3-4-1, то во втором случае (рис. 8.18, б) она больше, чем в первом (рис. 8.18, а). Можно заметить, что аналогичный факт будет иметь место, если повысить температуру Ti высокотемпературного нагревателя (источника тепловой энергии) при неизменной температуре низкотемпературного приемника тепловой энер­гии (холодильника).

Из приведенных рассуждений можно заключить, что чем больше раз­ность температур между нагревателем и холодильником (ДТ = Тг — Т2),

Подвод энергии в Тепловой форме

Подвод энергии в Тепловой форме

Отвод энергии в Тепловой форме

Рис. 8.18. Зависимость результирующей работы цикла Карно от температуры Холодильника

Тем больше полезной работы (энергии в механической форме) может быть получено в расчете на каждую единицу количества тепловой энергии Qi, полученной рабочим телом от источника с высокой температурой 7\. Следовательно, КПД машины находится в прямой пропорциональной за­висимости от разности температур, при которых энергия в форме теплоты поглощается рабочим телом из окружающей среды (Ti) и отдается окру­жающей среде (Т2). Смысл всего сказанного пока сводится к тому, что теп­ловая машина, работающая по замкнутому циклу, не может использовать всю энергию Qi, подведенную к рабочему телу от нагревателя в тепловой форме — часть тепловой энергии Q2 должна быть отдана холодильнику.

Этот тезис составляет первый принцип Карно, заключающийся в сле­дующем:

• для непрерывной работы теплового двигателя необходим источник тепловой энергии с высокой температурой и приемник тепловой энер­гии с низкой температурой.

Первый принцип Карно утверждает, что полностью превратить энергию из тепловой формы в механическую форму в циклическом процессе нельзя. Справедливо и обратное утверждение — превратить полностью энергию из механической формы в тепловую форму в циклическом процессе тоже нельзя.

Следует заметить, что в обычном (не циклическом) процессе можно полностью преобразовать энергию из тепловой формы в механическую форму и обратно. Например, сообщая газу некоторое количество энергии в тепловой форме и позволяя ему расширяться в расширительной машине при постоянной температуре (Т = idem), можно полностью преобразовать энергию из тепловой формы в механическую форму. Аналогично, сжимая газ изотермически, можно полностью преобразовать энергию из механиче­ской формы в тепловую форму. В природе существует асимметрия между

Высокотемпературный источник энергии Низкотемпературный источник энергии Рис. 8.19. Условная схема совместной работы тепловых машин Карно по прямому И обратному циклу

Циклическими и нециклическими процессами во взаимном превращении энергии из тепловой формы в механическую форму и наоборот:

• в циклически работающей тепловой машине энергия не может быть полностью превращена из механической формы в тепловую форму и из тепловой формы в механическую форму.

Теорема Карно и ее доказательство относятся к числу самых красивых построений в физике. С этой теоремы учение о тепле, как о способе пе­редачи энергии и ее количественной мере, присоединилось к числу точных наук.

В открытии Карно удивительно то, что он не использовал закон сохране­ния энергии (первый закон термодинамики), когда писал свой труд. Тем не менее, его труд свидетельствует о том, что он догадывался о существовании закона сохранения энергии. Карно не знал второго закона термодинамики[3], не умел вычислять работу в различных процессах, поэтому даже не мог определить КПД разработанного им цикла. Трудно сказать, есть ли в науке еще случаи, когда «незнание» двух законов природы (при этом первый закон термодинамики является всеобщим) помогло сделать великое открытие, пользуясь к тому же неверными представлениями о теплоте (теории теплорода).

Карно строил свои рассуждения примерно так. Пусть имеется тепловая машина, которая работает по описанному выше прямому циклу. Она рабо­тает между двумя тепловыми резервуарами — высокотемпературным (Ti) и низкотемпературным (Т2). Тепловая машина Y (рис. 8.19), работающая по прямому циклу, приводит в действие машину X, которая работает по обратному циклу. При работе тепловой машины Y по прямому циклу от рабочего тела отводится энергия в механической форме, численно равная результирующей работе W^. При этом к рабочему телу подводится тепловая энергия в количестве Qi, а отводится — Q2-

Выясним, что происходит при работе тепловой машины Y по пря­мому циклу. Из окружающей среды (высокотемпературного источника)

К рабочему телу подводится тепловая энергия в количестве Q i. Следо­вательно, внутренняя энергия высокотемпературного источника энергии должна уменьшиться на величину а внутренняя энергия рабочего тела должна увеличиться на эту же величину От рабочего тела в окружающую среду отводится энергия как в тепловой форме в количестве Q2> так и в механической форме в количестве Wpe3. Внутренняя энергия низкотемпературного источника тепловой энергии (холодильника) должна увеличиться. Оба источника тепловой энергии относятся к окружающей среде. Следовательно, внутренняя энергия окружающей среды изменится (уменьшится) на величину Q^ = Qx — Q2 {Qi > Фг)- Так как в окру­жающую среду отводится энергия в механической форме, кинетическая или потенциальная энергия окружающей среды тоже должна измениться на величину Wpe3. Ранее отмечалось, что в ходе циклического процесса рабочее тело возвращается в исходное состояние, поэтому за цикл его внут­ренняя энергия не изменяется. Следовательно, энергия в тепловой форме в рабочем теле не накапливается. В соответствии с законом сохранения энергии (см. выражение (8.17)) часть подведенной к рабочему телу энергии в тепловой форме фрез преобразована в прямом цикле в механическую форму и отведена в окружающую среду, т. е.

Wpe3 = Qpe3. (8.22)

Таким образом, в результате работы тепловой машины Карно по прямо­му циклу в окружающей среде происходит изменение внутренней и внеш­ней (кинетической или потенциальной) энергии тел. Внутренняя энергия рабочего тела не изменяется.

Осуществим в тепловой машине Карно обратный цикл между теми же источниками тепловой энергии (нагревателем и холодильником). В результате работы тепловой машины X (рис. 8.19) по обратному циклу будет затрачиваться энергия в механической форме в количестве И^, которая получена в тепловой машине У, работающей по прямому циклу. В результате осуществления обратного цикла энергия в тепловой форме будет отбираться рабочим телом от низкотемпературного источника энер­гии (холодильника) в количестве Q‘2. Так как за цикл внутренняя энергия рабочего тела не изменяется (тело возвращается в исходное состояние), передаваемая ему в ходе обратного циклического процесса энергия в механической И^ и тепловой Q2 формах будет отводиться в окружающую среду (высокотемпературный источник энергии) в количестве Q‘x. В ходе обратного циклического процесса внутренняя энергия рабочего тела также не изменяется. Запишем выражение первого закона термодинамики (закона сохранения энергии) для обратного циклического процесса

= = (8.23)

Таким образом, в результате осуществления в тепловой машине Карно обратного цикла внутренняя энергия окружающей среды должна изме­ниться (увеличиться) на величину Q’^-

Проанализируем совместный результат работы машины Карно по пря­мому и обратному циклу.

1. В результате работы машины У (рис. 8.19) по прямому циклу внутрен­няя энергия окружающей среды уменьшается на величину фрез, а меха­ническая энергия (кинетическая или потенциальная) увеличивается на величину Жрез.

2. В результате работы машины X по обратному циклу механическая (кинетическая или потенциальная) энергия окружающей среды умень­шается на величину W^, а внутренняя энергия увеличивается на величину ф^.

3. В ходе протекания обоих циклов внутренняя энергия рабочего тела не изменяется (ипряы0го = ^обратного — idem).

4. Так как механическая энергия окружающей среды при осуществлении прямого цикла увеличивается на величину И^, а при осуществлении обратного цикла уменьшается на эту же величину Wpe3, суммарное изменение механической энергии окружающей среды равно нулю.

5. Сравнивая выражения (8.23) и (8.22), замечаем, что ф^ = фрез» т. е. при осуществлении прямого цикла внутренняя энергия окружающей среды уменьшается на величину фрез, а при осуществлении обратного цикла увеличивается на эту же величину фрез-

6. В результате осуществления прямого и обратного циклов Карно между одними и теми же источниками тепловой энергии (нагревателем и хо­лодильником) суммарное изменение энергии окружающей среды равно нулю.

Заменим машину Карно У (рис. 8.19), работающую по прямому циклу, другой машиной Карно Z, работающей тоже по прямому циклу. Предпо­ложим, что в этой машине при том же количестве сообщенной рабочему телу тепловой энергии фх от него отводится большее, чем в машине У, количество механической энергии W^3 > Если эту энергию

Затратить в тепловой машине X, работающей по обратному циклу, то она должна передать в окружающую среду большее количество тепловой энергии ф^з, чем машина У:

(Q‘i = wЈ3+Q’2)>(Q1 = wЈ3+Q2), <?;><?!.

Напомним, что Карно строил свои рассуждения на основе теплородной теории теплоты. Теплород в его понимании представлялся некоторой неве­сомой субстанцией. Следовательно, при работе машины Z от нагревателя к холодильнику «падал» теплород в количестве фх. При работе машины Z К нагревателю должен «восходить» поток теплорода в количестве Q[ > Карно считал, что «восходящий» поток теплорода (теплоты) противоречит природе и поэтому невозможен. Он полагал, что полезный эффект от работы машины Z по прямому циклу не может превышать полезного эффекта от работы машины У, а отсюда делал вывод, что описанные им прямой и обратный циклы, состоящие из двух изотерм и двух адиабат (рис. 8.12), обладают самым большим положительным эффектом.

Полезный эффект прямого цикла оценивается степенью преобразования энергии из тепловой формы в механическую форму, а обратного цикла — степенью преобразования энергии из механической формы в тепловую.

Самым существенным в цикле Карно является его обратимость, так как он происходит без потерь энергии. Реальные циклические процессы проте­кают с потерями энергии, поэтому являются необратимыми. Правильнее было бы сформулировать вывод так:

1. КПД любого цикла не может быть больше КПД обратимого цикла, проводимого между двумя резервуарами с теми же температурами.

2. КПД любого обратимого цикла совпадает с КПД цикла Карно и зависит только от температуры нагревателя 7\ и температуры холодильника Т2.

То, что цикл Карно (рис. 8.12) состоит из двух изотерм и двух адиабат, упрощает вычисление КПД (полезного эффекта). Если Карно теоретиче­ски доказал, что эффективность тепловой машины (двигателя) зависит только от температуры нагревателя и холодильника, то аналитически эту зависимость вывел Клаузиус, опираясь на всеобщий закон сохранения энер­гии (первый закон термодинамики), который выражается зависимостью (8.5).

Рассмотрим цикл Карно в свете перво­го начала термодинамики. Предположим, что термодинамическая система состоит из га кг идеального газа, состояние которо­го описывается уравнением pV = гаДоТ. Цикл начинается в точке а (рис. 8.20) рас­ширением газа вдоль изотермы а-Ь (7\ = Idem). В процессе изотермического рас­ширения рабочее тело находится в кон­такте с тепловым резервуаром (термоста­том), имеющим температуру Ть который поддерживает температуру рабочего тела постоянной. На основании аналитического выражения первого закона термодинамики (8.5) определим работу, совершаемую рабочим телом над окружающей средой в процессе изотермического расширения а-Ь:

Уь

Qa-ь = Ub-Ua + Wa-b = McV(Tb — Te) + JpdV. (8.24)

Ve

Так как процесс a-b является изотермическим, то Tb = Ta. Следователь­но, в процессе а-Ь внутренняя энергия рабочего тела не изменяется:

Ub — Ua = mcv{Tb — Гв) = mcv{Ta — Т«) = 0. С учетом этого выражение (8.24) представим в виде

Уь

Qa-b = Wa-b = J pdV. (8.25)

Ve

Рис. 8.20. Индикаторная диа­грамма цикла Карно

Выражение (8.25) нельзя проинтегрировать, так как при изменении объема рабочего тела изменяется его давление р = /(V). Следовательно,
чтобы воспользоваться выражением (8.25), необходимо знать зависимость давления рабочего тела от его объема р = /(V).

Из уравнения состояния идеального газа находим зависимость давления рабочего тела от его объема:

Р = (8-26)

Подставим выражение (8.26) в выражение (8.25) и проинтегрируем полученное выражение:

V6 v6

Qa—B = Wa—B = JDy = mil0T1 J^ =тД0Т1 ln^, (8.27)

[m = idem; Ro — const; 7\ = idem].

Учитывая выражение (8.25), выражение (8.27) можно представить в виде

Wa-ь = Qa—Ь = MRoTi In ^. (8.28)

К»

Так как Va > V^, то Wa_6 = Qa-ь > 0. Выражение (8.28) показывает, что подводимая к рабочему телу в изотермическом процессе а-Ь (рис. 8.20) энергия в тепловой форме Qa—B полностью преобразуется в механическую форму Wa-b — Подводимая в тепловой форме энергия Qa-ъ в соответствии с правилом термодинамических знаков является положительной величиной. Отводимая в механической форме энергия Wa. b в соответствии с правилом термодинамических знаков также является положительной величиной. Ко­личество отведенной в механической форме энергии Wa. b численно равно площади фигуры а-Ъ-3-1 (рис. 8.20).

В процессе расширения B-с энергия в тепловой форме к рабочему телу не подводится и не отводится от него (Qb—C = 0). Этот процесс является адиабатическим. Для адиабатического процесса Ь-с выражение первого закона термодинамики (8.5) будет иметь вид

Mcv{Tc — Ть) = — HVc — (8.29)

В адиабатическом процессе Ь-с от рабочего тела отводится энергия в механической форме HVc? так как оно расширяется. Поскольку энергия в тепловой форме к рабочему телу не подводится и не отводится от него, отводимая в механической форме энергия Wb-c приводит к уменьшению его внутренней энергии Uc < UЬ-

Преобразуем выражение (8.29):

—Mcv{Tc — Ть) = mcv{Tb — Тс) = (8.30)

Так как в процессе расширения Ь-с энергия в механической форме отво­дится, в соответствии с правилом термодинамических знаков она положи­тельна (Wb-c > 0). Из выражения (8.30) следует, что Mcv(Tb — Тс) > 0, т. е. Ть > Тс. Энергия Wb-c, отводимая от рабочего тела в механической форме в процессе расширения Ь-с, численно равна площади фигуры Ь-с-4~3. Таким образом, в адиабатическом процессе Ь-с температура рабочего тела понижается от 7\ до Т2 (уменьшается его внутренняя энергия).

В процессе c-d рабочее тело сжимается изотермически при температуре Т2 = idem, равной температуре низкотемпературного источника энергии (холодильника). Для изотермического процесса c-d на основании выраже­ния (8.5) можно записать

Vd

Qc-d = Ud-Uc + We.* = mcv(Td — Tc) + J pdV. (8.31)

Так как процесс сжатия c-d является изотермическим, то = Тс = Т2, поэтому mcv{Td—Tc) = 0. В этом случае выражение (8.31) можно записать в виде

Vd

Qc-<i = Wc^ = JpdV. (8.32)

В процессе сжатия объем рабочего тела уменьшается (Vd < Vc), а дав­ление увеличивается. Для интегрирования выражения (8.32) необходимо знать зависимость давления рабочего тела от его объема р = f(V). На основании уравнения состояния идеального газа имеем

(8-33)

Подставив выражение (8.33) в выражение (8.32) и проинтегрировав полученное выражение, получим

Vd Vd

Qc-d = W(^d = J ™^.dV = mRoT2 J ^=тДоТ21п^. (8.34)

Vc vc

Так как Vd<Vc, то In(Vd/Vc) < 0. Отсюда следует, что

Qe_d = W^< 0.

Этот вывод соответствует правилу термодинамических знаков. В про­цессе сжатия энергия в механической форме W^ подводится к рабочему телу, поэтому ей приписывают знак минус[4]. Отводимая в процессе сжатия энергия в тепловой форме Qc-d в соответствии с правилом знаков также является отрицательной величиной[5]. Выражение (8.34) показывает, что вся подводимая в процессе сжатия c-d энергия в механической форме W^ Полностью преобразуется в тепловую форму и отводится в окружающую среду в количестве Q2 = Qc-d = W^.

Энергия H^d, подводимая к рабочему телу в процессе сжатия c-d, численно равна площади фигуры c-d-2-4-

В процессе d-a рабочее тело сжимается адиабатически {Qd-a = 0). Для адиабатического процесса сжатия d-a уравнение первого закона термоди­намики будет иметь вид

Mcv(Ta — Td) = — Wd-a; (Qd_e = 0). (8.35)

Преобразуем выражение (8.35):

—Mcv{Ta — Td) = mcv(Td — T«) = Wd-a. (8.36)

Так как Td = T2<Ta = Tu то из выражения (8.36) следует, что Wd-a < 0. Действительно, в процессе d-a энергия подводится к рабочему телу в механической форме. В соответствии с правилом термодинамических знаков она отрицательна. Знак указывает на то, что в процессе d-a работа совершается не изучаемой системой (рабочим телом) над окружающей средой, а наоборот — окружающей средой над рабочим телом.

Определим результирующую работу цикла Карно

И^рез = Wa-b + + We-d + wd-a. (8.37)

Подставляя выражения (8.28), (8.30), (8.34) и (8.36) в выражение (8.37), получим

TOC \o "1-3" \h \z И^рез = mRoTiIn^ + тсу{Ть — Тс) + MR0Т2mcv(Td — Ta). Va vc

Преобразуем последнее выражение, учитывая, что Та = Ть = Тх ъ Td — ТС = Т2:

Wpe3 = mRoTilnЈ + mcv{Tx — T2) + MR^T2+ mcv(T2 — T1) =

Va *c

= mRoTiLnЈ + mcviTr -T2) + mR^T2In^ -mcv(7\ —T2).

Va Vc

После сокращений получим

Жрез = mRoTi In ^ + mRoT2 In ^. (8.38)

»a ‘ с

Подставив выражения (8.27) и (8.38) в выражение (8.16), получим выражение для определения КПД цикла Карно

MRoTi lnЈ+ тДоГз In ^

Г)к =————————————— ^——- ^—— ^. (8.39)

Тялцп^

"а

Запишем уравнения адиабаты Ь-с (рис. 8.20)

PbVbk=pcVck. (8.40)

Из уравнения состояния идеального газа определим давление рабочего тела в конечных точках адиабатического процесса Ь-с:

MRaTb ТДоТ1! Рь = ~

(8.41)

Vb Vb

MRoTc mRoT2 Pc = —FT— = 77—

Подставив выражения (8.41) в равенство (8.40), получим:

RnRoTj mRoT2 Тх T/Fc Т2 т/*. ^ T/Fc-i __ rp i/k-i

Уъ VB = Ус VC 1 —Уь УЬ"Ус VC > VB **2 Кс •

Из последнего выражения следует, что

(8.42)

Запишем уравнения адиабаты d-a (рис. 8.20)

PaVak =pdVdk. (8.43)

Из уравнения состояния идеального газа определим давление рабочего тела в конечных точках адиабатического процесса d-a:

TTiriol 2 \ ~vT I ТДоГх [‘ VL )

Pd = Ра =

(8.44)

MRoTd тДоТ2

Vd Vd

(8.45)

MRoTa mRoTi

К Va

Подставляя выражения (8.44) в равенство (8.43), получим:

RnRpTi J/k MRoTd T/fc Ti. k T2 т/*. ^ T/fc-i __ rp T/fc-i

—vav°-Vdv*> T*V° ~T*V* ■ Из последнего выражения следует, что

Т2 = Уак~1 Г, Vdk~L‘

Va Vb Vb Vc

Объединяя выражения (8.42) и (8.45), получим

Ук-1 ук-1

= (8-46)

Из выражения (8.46) следует, что

Т/ т/

(8.47)

Vd Vc‘ Va Vd‘ Подставляя выражение (8.47) в выражение (8.39), получим

ШйоТх In £ + тД, Т2 In £

Пк =——————————————————————- ^———— V————— • (8-48)

VD

После сокращений и преобразований выражение (8.48) примет вид Txln^+Taln^ Г, In £-Т21п£ т т

Т)к =——————— —я =—————— ^ (8.49)

Ttln^ 7\lnЈ П

VD Vd

Объединив выражения (8.16) и (8.49), получим

Выражение (8.50) показывает, что КПД идеального цикла Карно прямо пропорционален отношению разности температур нагревателя (высокотем­пературного источника тепловой энергии) и холодильника (низкотемпера­турного источника тепловой энергии) к температуре нагревателя. Выражение (8.50) запишем в следующем виде:

Wpe3 = r)KQ1 = r)K^j^. (8.51)

Зависимость (8.51) выведена Р. Клаузиусом и является математическим выражением принципа Карно. Она определяет условие преобразования энергии из тепловой формы в механическую форму в циклическом процессе при заданных температурных условиях. Это условие можно сформулиро­вать следующим образом:

• В тепловой машине, работающей по прямому циклу, всю подведенную к рабочему телу энергию нельзя преобразовать из тепловой формы в механическую форму.

Из принципа Карно можно сформулировать еще один вывод:

• Если температуры нагревателя и холодильника равны (7\ = Т2), То в циклическом процессе вообще нельзя преобразовать энергию из тепловой формы в механическую форму.

Этот вывод следует из выражения (8.51): если Т2 = 7\, то Wp^ = 0. Таким образом, наличие энергии в тепловой форме еще не означает возможности преобразования хотя бы ее части в механическую форму в циклическом процессе.

Выражение (8.50) позволяет определить максимально возможный КПД идеальной тепловой машины, в которой рабочее тело получает тепловую энергию от высокотемпературного источника при температуре 7\ и отдает ее низкотемпературному источнику при температуре Т2.

КПД любой тепловой машины (даже идеальной) не может превышать величины, определяемой выражением (8.5). Так как температура холо­дильника (низкотемпературного источника тепловой энергии) всегда ни­же температуры нагревателя (высокотемпературного источника тепловой энергии), КПД любого цикла не может быть большим 1. Более того, КПД любого цикла не может быть даже равным 1.

Можно сформулировать ряд эквивалентных формулировок второго за­кона термодинамики:

• Энергия в тепловой форме не может самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому телу (формулировка Клаузи — уса);

• Не существует такого циклического процесса, единственным резуль­татом которого является подвод к рабочему телу энергии в тепловой форме от нагревателя и отвод энергии от него в механической форме (формулировка Кельвина—Планка).

Нетрудно заметить, что вторая формулировка была предвосхищена С. Карно.

Эти утверждения нельзя вывести из какого-либо общего принципа. Скорее, они отражают общую закономерность природы реального мира, выведенную из опыта. Они представляют собой аксиомы, которые, вполне обосновано, следует отнести к фундаментальным законам.