Идеализированный цикл теплового двигателя с изохорноизобарным процессом подвода энергии в тепловой форме

Индикаторная диаграмма такого цикла показана на рис. 9.10. В процессе а-с рабочее тело сжимается. Это означает, что рабочему телу передает­ся энергия в механической форме (путем совершения над ним работы сжатия Wa_c). В тепловой форме энергия рабочему телу не передается и не отводится от него. Следовательно, процесс сжатия а-с является адиабатическим.

На основании первого закона термодинамики (закона сохранения энер­гии) для процесса а-с можно записать, что

AC/a-c = Qa-c ~ (-Wa-c) = Wa_c, [Qa-c = 0]. (9.79)

В зависимости (9.79) учтено правило знаков: подводимая к рабочему телу извне энергия в механической форме записывается со знаком «минус».

Из выражения (9.79) видно, что при сжатии внутренняя энергия рабо­чего тела увеличивается Температура рабочего тела тоже увеличивается [U = /(Т)]\ Из уравнения состояния идеального газа pV = mRoT видно, что при увеличении температуры рабочего тела Т его правая часть увели­чивается, поэтому должна увеличиваться и его левая часть — произведение PV. Так как в процессе а-с объем рабочего тела уменьшается, то давление р рабочего тела должно увеличиваться.

В точке с (рис. 9.10) рабочее тело (газ) приведем в контакт с нагре­вателем. Нагреватель передаст рабочему телу некоторое количество Q i энергии в тепловой форме. На первом этапе (процесс с-у) передача энергии в тепловой форме происходит настолько быстро, что поршень в цилиндре расширительной машины почти не перемещается. В процессе с-у рабочему телу будет передана энергия в тепловой форме в количестве, равном Q[. Так как в процессе с-у объем рабочего тела не изменяется (поршень не перемещается), то процесс является изохорным (V^, = idem).

В изохорном процессе с-у энергия в любой форме не отводится от рабочего тела, хотя к нему подводится в тепловой форме. На основании первого закона термодинамики для процесса с-у можно записать

В соответствии с правилом термодинамических знаков, подводимая к рабочему телу энергия в тепловой форме Q‘x записывается со знаком плюс. Приведенное выше выражение показывает, что вся подводимая к рабочему телу извне энергия в тепловой форме приводит к увеличению его внутренней энергии (ДЕ/с-у > 0).

В процессе y-z происходит передача энергии в тепловой форме от на­гревателя к рабочему телу несколько медленнее при одновременном пере­мещении поршня расширительной машины в сторону увеличения объема. В этом процессе объем рабочего тела увеличивается, а давление остается неизменным (py-z = idem). В изобарном процессе y-z рабочему телу от нагревателя передается энергия в тепловой форме в количестве Q". В этом процессе энергия в тепловой форме не только подводится к рабочему телу, но и отводится от него в механической форме путем совершения работы Wy-Z. Для процесса y-z выражение первого закона термодинамики будет иметь вид

А Uy-^Q‘1-Wy-,.

В соответствии с правилом термодинамических знаков, подводимая в тепловой форме энергия Q" и отводимая в механической форме Wv-Z Записываются со знаком плюс.

В точке z прервем контакт между рабочим телом и нагревателем. Рабочее тело будет продолжать расширяться без подвода и отвода энер­гии в тепловой форме. Следовательно, процесс расширения z-b будет происходить адиабатически. В адиабатном процессе z-b от рабочего тела отводится энергия в механической форме путем совершения работы Wz-b над окружающей средой.

Запишем для адиабатного процесса z-b выражение первого закона термодинамики

AUz-b = Qz-b-Wz-b = — Wz-b, [Qz-b = 0]. (9.80)

Выражение (9.80) показывает, что в адиабатном процессе z-b внут­ренняя энергия рабочего тела уменьшается (Щ < Uz), так как от него отводится энергия в механической форме. Следовательно, температура ра­бочего тела понижается (Ть <TZ). При уменьшении температуры рабочего тела значение правой части в уравнении состояния идеального газа pV = MRoT уменьшается, поэтому значение левой части этого выражения тоже уменьшается. Так как объем рабочего тела в процессе z-b увеличивается, то это означает, что в процессе z-b интенсивно понижается давление рабочего тела (рь <Рг).

В точке Ь (рис. 9.10) рабочее тело приводят в контакт с холодильником (приемником энергии в тепловой форме) и в процессе Ь-а от рабочего тела отводят энергию в тепловой форме в количестве Qi в окружающую среду. Поршень расширительной машины при этом не перемещается, поэтому объем рабочего тела не изменяется, т. е. отвод энергии Q2 происходит при постоянном объеме рабочего тела. Процесс Ь-а является адиабатным. Так как площадь индикаторной диаграммы под графиком процесса Ь-а равна нулю, энергия в механической форме не подводится к рабочему телу и не отводится от него (Wb-a = 0).

Запишем выражение первого закона термодинамики для изохорного процесса Ь-а с учетом правила знаков ДС4_а = —Q2 — Wb~a — — С?2-

Приведенное выражение показывает, что в изохорном процессе Ь-а внут­ренняя энергия рабочего тела уменьшается за счет ее отвода в тепловой форме.

Определим по формуле (8.50) термический КПД цикла с изохорно — изобарным процессом подвода энергии к рабочему телу в тепловой форме

Результирующее количество энергии, отводимой от рабочего тела в механической форме, равно

И^рез = Wa.c + + Wy.z + Wz-b + WVa. (9.82)

В изохорных процессах о-у и Ь-а (рис. 9.10) рабочее тело и окружающая среда не обмениваются энергией в механической форме, т. е. W^ = Wb~a — 0. Учитывая это, выражение (9.82) можно представить в виде

И^рез = Wa_c + Wy. z + Wz. b. (9.83)

Запишем уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса а-с (рис. 9.10) без учета правила термодинамических знаков

ДЕ/a-c = Qa-c — Wa-c. (9.84)

В адиабатном процессе а-с рабочее тело и окружающая среда не обмениваются энергией в тепловой форме, поэтому Qa—C = 0. Выражение (9.84) в таком случае упростится: Af/a-c = или

Wa.c = — Af/a-c = -mcv(TKOH — Тнач) = -mcv(Tc — Ta). (9.85)

Так как Та < Тс, то < 0. Энергия не может быть отрицательной ве­личиной и знак минус в выражении (9.85) лишь указывает на направление передачи энергии в механической форме от окружающей среды к рабочему телу.

Так как в процессе y-z (рис. 9.10) давление рабочего тела неизменно (Pz = РУ = Idem), То количество энергии в механической форме Wy-Z, Которым обмениваются рабочее тело и окружающая среда, определим по формуле

Wy-z=py.AVy-z=pz.(Vz-Vy)=pz.(Vz-Vc), [pz=pc; Vy = Vc).

(9.86)

Так как Vz > Vc, То Wy-Z > 0. Положительное значение величины энер­гии в механической форме, которым обмениваются рабочее тело и окружа­ющая среда, указывает на то, что в изобарном процессе y-z (рис. 9.10) энергия в механической форме передается рабочим телом окружающей среде.

Запишем уравнение первого закона термодинамики (8.5) для адиабат­ного процесса z-b (рис. 9.10)

ДС/2_6 = Qz-ь — Wz.b. (9.87)

Так как в любом адиабатном процессе термодинамическая система и окружающая среда не обмениваются энергией в тепловой форме, выраже­ние (9.87) можно представить в виде

AUz-b = —Wz-b

Или

Wz-b = -A Uz.b = -mcv{Tb — Tz) = mcv(Tz — T6). (9.88)

Подставляя выражения (9.85), (9.86) и (9.88) в выражение (9.83), полу­чим следующее выражение:

З = — mcv(Tc — Та) +pz{Vz — Vc) + mcv(Tz — Ть) = = mcv(Ta — Тс) + mcv(Tz — Ть) +pz(Vz — Vc) = = mcv(Ta — Тс + Tz — Гь) +pz(Vz — Vc). (9.89)

Преобразуем выражение (9.89) следующим образом. Второе слагаемое выражения (9.89) представим в виде pz(Vz — Vc) = pzVz —pzVc. Учитывая выражение (9.77), его можно представить в виде

PzVz — pzVc = pzVz — Л • pcVc. (9.90)

Используя уравнения состояния идеального газа pV = mRoT, выраже­ние (9.90) можно представить в виде

PzVz — XpcVc = mRoTz — ЛтЛоТс = mR^(Tz — ХТС). (9.91)

Из равенства (9.39) определим температуру рабочего тела в точке с (рис. 9.10)

Гс = Гв-е*"1. (9.92)

Запишем уравнение состояния рабочего тела для крайних точек изобар­ного процесса y-z (рис. 9.10):

PyVy = MRoTy] 1 PzVz = mR0Tz /’

Разделим второе уравнение на первое:

РгУг ^ MRpTz = Тх

PyVy mRoTy Ту

В изобарном процессе y-z (рис. 9.10) давление рабочего тела постоянно, т. е. рг = ру. Учитывая это, последнее выражение можно записать в виде

V Т

V = Ґ=P> (9-93)

У у 1у

Где р — степень предварительного расширения рабочего тела в изобарном процессе y-z.

Из уравнения (9.93) определим температуру рабочего тела в точке z (рис. 9.10)

Tz = pTy. (9.94)

Запишем уравнение состояния рабочего тела (идеального газа) для крайних точек процесса с-у (рис. 9.10):

PyVy^mRoTyi |

PcVc = mRoTc /’

Разделим первое уравнение на второе:

PvVy _ mRoTy __ Tv PCVc mRoTc Тс

Учитывая, что в изохорном процессе с-у (рис. 9.10) объем рабочего тела не изменяется (Vy = Vc), последнее выражение представим в виде

Pv=Zk = A

Рс Тс

Из этого выражения определим давление рабочего тела в точке у (рис. 9.10)

ГУ = ЛТС. (9.95)

Подставим выражение (9.95) в выражение (9.94):

Тг=р\Тс. (9.96)

Подставляя выражение (9.92) в выражение (9.96), получим

Tz^p\Taek-K (9.97)

Для определения температуры рабочего тела в точке Ь индикаторной диаграммы (рис. 9.10) воспользуемся уравнением адиабаты (9.36)

(9.98) LX \¥Ь/ Из уравнения (9.98) имеем

Тх \Vb)

Th

Ть (Vx—K-1

-г.®". <9">

С учетом (9.93), выражение (9.99) представим в виде

Tb = Tz{^)k~\ (9.100)

Но так как Vy = Vcy а И = Va (см. рис. 9.10), выражение (9.100) можно представить в виде

Т6 = Г,(^)*~\ (9.101)

Преобразуем выражение (9.101) к виду

Г’=г'(тщГ=г'(?Г’ RH— (9102)

Подставляя выражение (8.97) в выражение (9.102), получим

ТЬ = Тар\ек-1 (f )k_1 = TapXek~l ^ =

= ТарХр к~1 = Та\рк. (9.103)

Подставляя выражения (9.92), (9.97) в выражение (9.91), получим

ТЯо (Тг — АТе) = тЯо (рХек~1Та — АТ^"1) =

= тД0Аек"1Гв(р -1). (9.104)

Преобразуем первый член выражения (9.89), учитывая выражения (9.92), (9.97) и (9.103):

Mcv(Ta-Тс + Тг- Ть) = mcv(Ta — Таек~1 + рХТаек~1 — РкХТа) =

= mcvTa(l — efc_1 + pAefc_1 — ркА). (9.105)

Из уравнения Майера определим удельную массовую теплоемкость рабочего тела при постоянном объеме cv—

Cp-cv = R0\ (9.106)

Cv -1) = Д»; (9.107)

Су{к — 1) = Ro\ (9.108)

= (9.109)

Выражение (9.105) можно теперь записать в виде ТпсуТа( 1 — efc_1 + РХвк~1 — рк X) = m Гв(1 — е*"1 + рАе*"1 — рк А).

К — 1

(9.110)

Подставляя выражения (9.104) и (9.110) в выражение (9.89), получим W^ = ^Zk (1 — efc_1 + рХек~1 — рк А) + тЯоАе*"1^ -1) =

= ТГГ К1 — Јfe_1 +^Aefc_1 ~ + Ае"-1^- 1)(Р-1)] • (9.111)

Определим количество тепловой энергии Q i, которая подводится к рабочему телу в цикле:

Qi = Q[ + Q" = mcv{Ty — Tc) + mCp{Ta — Гу), (9.112)

Где Q[ — количество тепловой энергии, подведенной к рабочему телу в изохорном процессе с-у (рис. 9.10); Q" — количество тепловой энергии, подведенной к рабочему телу в изобарном процессе y-z; га — масса рабочего тела; cv — удельная теплоемкость рабочего тела при постоянном объеме; Ср —удельная теплоемкость при постоянном давлении; Тс, Ту, Tz — темпе­ратура рабочего тела в соответствующих точках цикла.

Из уравнения Майера (9.106) определим удельную теплоемкость рабо­чего тела при постоянном давлении Ср:

С-(1-7:)= Я-; (9 Ш)

^-s)-* <9114>

С, = (9.115)

Подставляя выражения (9.109) и (9.115) в выражение (9.112), получим Q1 = ^(TV-TC) + ^(TZ-TV) =

= й1(г»" Тс)+K{TZ — Tv)] = й[Ty ~Тс+ктх ~KTy] =

= ^ [Г„(1 — к) + кТг — Те]. (9.116)

Из уравнения (9.93) определим температуру рабочего тела в точке у (рис. 9.10)

= (9.117)

Подставляя выражение (9.97) в выражение (9.117), получим

Tv = РХ Јfc l = ХТаек~1. (9.118)

Подставим выражения (9.92), (9.97) и (9.118) в выражение (9.116):

Q1 = gk [Aefc-1Te(L — к) + кХре’-‘Та — е*"1^] =

= efc_1 [Л(1 — к) + Хрк -1] = ^^ efc-1[A — кХ+ крХ —1] =

Л 1 К X

= тгг Јfc_1 КА — V-+ <кхр — кхЯ = 1РГ Јfe_1 — V-+ кХ— ^

(9.119)

Подставляя выражения (9.111) и (9.119) в выражение (9.81), полу­чим выражение для определения термического КПД цикла с изохорно-
изобарным процессом подвода энергии к рабочему телу в тепловой форме И^М [1 _ лрк — г[24]"1 + Арек~1 + Аек’1(к — 1 )(р — 1)]

_______ Ас — 1__________

* ~ ШДрГ fc_lr

К — 1

_ [l-A/t>*-g*-1 + A/!>e*-1 + Aefc-1(fc-l)(p-l)] _ ~Vt~ е*-1 [ЛА(р — 1) + (А — 1)]

_ Ае*-1^ -Р- к + !) + (!- Ар* — е^’ + Аре*-1) _

Е^[к\(р-1) + (Х-1)] _ Хрке*-1 — Аре*~’ — FcAe*-1 + Ае*~х +1 — Ар* — е*-1 + Аре*-1

1.0 L4 1.S р

Рис. 9.12. Зависимость термического КПД цикла от степени предварительно­го расширения рабочего тела

Efc-1[fcA(p-l) + (A-l)] _ КХек~1(р -1) + ек~1(Х — 1) +1 — Ар* _

Относительное количество ; Тепловой энергии, подводимой к рабочему телу \ при постоянном давлении \

Относительное количество { тепловой энергии, > подводимой к рабочему телу \ при постоянном объёме \

Рис. 9.14. Зависимость термического КПД цикла от соотношения количеств тепловой энергии, под­водимой к рабочему телу при постоянном давлении и постоянном объеме

Случаях и уменьшается. По этой причине в циклах реальных двигателей не следует реализовывать значения р > 2 и Л > 3.0; • для повышения термического КПД цикла необходимо увеличивать € и Л, а р уменьшать. Чем больше энергии в тепловой форме подводится к рабочему телу при постоянном объеме (V = idem) и меньше при постоянном давлении (р = idem), тем больше термический КПД цикла (рис. 9.14).

Построим тепловую (энтропийную) диаграмму цикла, используя следу­ющие выражения[25]:

Д5 = S2 — Si = As = — S\ =

AS = S2 — Si = — 1~Т2

I = mcp • In — mRo • In —, 1

T Pl (9121)

As = s2 — si = Cp • In — Яо • In ~ I

Ti Pi ‘

T V \

1 =mcv-In+ In-/, I

(9.123)

T2 V2 f ; (9122)

AS = S2 — Si= me,, • In ^ + mcy • In —,

Vi pi

1.0 2.0 3.0 X Рис. 9.13. Зависимость термического КПД цикла от степени повышения давления рабочего тела

У Do

As = S2 — Si = Cp • In — + Cy In — V\ Pi

В процессе сжатия а-с (рис. 9.10) энергия в тепловой форме не подво­дится к рабочему телу и не отводится от него (Qa—C = 0). В соответствии с выражением (9.49) изменение энтропии в этом процессе равно нулю

Д5в_с = %= 0, [Vy = Vc = idem].

На тепловой диаграмме (рис. 9.15) процесс сжатия а-с изображается в виде вертикальной прямой, означающей неизменность энтропии

(Sa-c = idem).

В процессе с-у (рис. 9.10) к рабочему телу подводится энергия в теп­ловой форме в количестве Q[. Давление и температура рабочего тела увеличиваются (ру > рс; Ту > Тс) при неизменном объеме {Vy = Vc = idem). Из выражения (9.122) следует, что

Т V

ASc-y = mcv In + mRo In .

1 с Ус

V

Так как V^ = то In = In 1 = 0. Следовательно, изменение энтропии

Ус

В процессе с-у (рис. 9.10) равно

AS с-у = mcv In Sj > 0, [ру >рс\ ^ > l].

Таким образом, в процессе с-у энтропия рабочего тела увеличивается. На тепловой диаграмме (рис. 9.15) процесс подвода энергии в тепловой форме изображается в виде логарифмической кривой с-у.

AS,

В процессе y-z (рис. 9.10) энергия к рабочему телу тоже подводится в тепловой форме в количестве Q". Определим изменение энтропии рабочего тела в этом процессе по формуле (9.123)

Р V

AV^mCpln^, [in — = In 1 = О]. Vv L Py J

• mcv In — + mcp In.

Y-z

Pc ry

Так как в процессе y-z (рис. 9.10) давление рабочего тела не изменяется

(Pz—Py = idem), то последнее выражение можно представить в виде

Vx >

Yv L Ру

| Подвод энергии € тепловой форме | J?

Так как Vz > Vy, то ASy-z > 0. Следовательно, в процессе y-z энтропия рабочего тела возрастает. На тепловой диаграмме (рис. 9.15) процесс y-z Изображается логарифмической кривой.

Рис. 9.15. Тепловая диаграмма цикла ^а с изохорно — изобарным процессом подвода тепловой энергии

В процессе z-b (рис. 9.10) рабочее тело расширяется без подвода и отвода энергии в тепловой форме. В этом процессе энергия отводится от рабочего тела в механической форме (путем совершения работы Wz-b)- Аналогично процессу а-с, изменение энтропии рабочего тела в этом про­цессе равно нулю

Д5г_6 = %± = 0, [Qz-ь = 0; Тф 0].

На тепловой диаграмме (рис. 9.15) адиабатный процесс расширения рабочего тела z-b изображается в виде вертикальной прямой, выражающей неизменность энтропии рабочего тела (Sa-b — idem).

В процессе Ь-а (рис. 9.10) энергия отводится от рабочего тела в тепловой форме в количестве Q2. Объем рабочего тела при этом не изменяется {Va = Уь — Idem). За счет отвода энергии в тепловой форме температура и давление рабочего тела уменьшается. Уравнение (9.123) для рассматрива­емого процесса будет иметь вид

ASЬ-а = mcv In — + mcp ln^f = mcv In — , Рь Уь Рь

[Va = Vb; \n{Va/Vb) = lnl = 0].

Так как pa < рь (рис. 9.10), то последнее выражение можно записать в виде неравенства ASb~a = mcv In(ра/рь) < 0.

Таким образом, в процессе Ь-а (рис. 9.10) энтропия рабочего тела уменьшается. На тепловой диаграмме (рис. 9.15) процесс Ь-а изображается в виде логарифмической кривой.

Количество энергии, которое подводится к рабочему телу в изохорно — изобарном процессе c-y-z (рис. 9.15), в некотором масштабе численно равно площади фигуры под графиком процесса

Qi = Qi + Qi = площадь фигуры c-y-z-Sz-Sc.

Количество энергии, которое отводится от рабочего тела в тепловой форме в процессе Ь-а (рис. 9.15), в некотором масштабе численно равно площади фигуры под рассматриваемым процессом

Q2 — площадь фигуры b-a-Sc-Sz.

В соответствии с первым законом термодинамики AU = Q — W можно записать

AU = Q[ + Q‘[-Q2~ {-Wa-c + Wy.z + Wz-b),

Где Q\ — количество энергии, подведенной к рабочему телу в тепловой форме в процессе с-у (рис. 9.10). В соответствии с правилом термодинами­ческих знаков она положительна; Q" — количество энергии, подведенной к рабочему телу в тепловой форме в процессе y-z. В соответствии с правилом термодинамических знаков она положительна; Q2 — количество энергии, отведенной от рабочего тела в тепловой форме в процессе Ь-а. В соответствии с правилом термодинамических знаков она отрицательна; Wa~C — количество энергии, переданной рабочему телу в механической форме в процессе сжатия а-с. В соответствии с правилом термодинамиче­ских знаков она отрицательна; Wy-Z — количество энергии, отведенной от рабочего тела в механической форме в процессе расширения y-z. В соот­ветствии с правилом термодинамических знаков она положительна; Wz-b — количество энергии, отведенной от рабочего тела в механической форме в процессе расширения z-b . В соответствии с правилом термодинамических знаков она положительна.

Так как в ходе циклического процесса рабочее тело возвращается в исходное состояние, изменение внутренней энергии за цикл равно нулю (AU = 0). Последнее выражение запишем в виде

(Qi — Q2) — (Wy-Z + Wz—B — Wv—C) = о

Или

(Qi — Q2) = (Wy-Z + Wz—B — Wa—C).

Величина (Wy-Z + Wz-b — Wa-C) = W^ представляет собой результиру­ющую работу цикла (правильнее — количество энергии, которое отводится от рабочего тела в циклическом процессе в окружающую среду). Величина (Qi — Q2) представляет ту часть энергии, которая преобразована в цикле из тепловой формы в механическую форму и отведена в этой форме в окружающую среду путем совершения результирующей работы W^.