Рассматривая цикл Карно (рис. 8.12), мы предполагали, что в процессах подвода 1-2 и отвода 3-4 энергии в тепловой форме температура рабочего тела равна температуре нагревателя (источника энергии) или холодильника. В цикле Карно нагреватель и холодильник являются термостатами. При отдаче энергии в тепловой форме температура нагревателя остается неизменной. При приеме энергии в тепловой форме температура холодильника тоже не изменяется. В реальных условиях это невозможно.
Существуют многие другие отрицательные факторы, не позволяющие реализовать в тепловом двигателе цикл Карно. В связи с этим, ученые и инженеры теоретически обосновали циклы, реализация которых возможна в реальных условиях. При их обосновании учитывались реальные ограничивающие факторы:
• максимальное давление рабочего тела;
« максимальная температура рабочего тела;
• максимальный объем рабочего тела.
Из курса физики известно, что давление в газах и жидкостях передается во все стороны одинаково. Следовательно, чем больше давление рабочего тела, тем большие усилия приложены к деталям расширительной машины. Если эти усилия превысят допустимые значения, детали расширительной машины разрушатся.
Разрушение деталей расширительной машины может также произойти из-за превышения предельно допустимой температуры рабочего тела.
Менее жестким ограничивающим фактором является максимальный объем рабочего тела (цилиндра расширительной машины). Чем больше предусматриваемое расширение рабочего тела, тем большими размерами должна обладать расширительная машина. Степень расширения рабочего тела в цикле ограничивают рациональными размерами двигателя.
При вращении коленчатого вала (рис. 9.2) объем цилиндра расширительной машины изменяется от максимального до минимального значения, следовательно, так же изменяется объем рабочего тела — от максимального до минимального значения. Так как при вращении коленчатого вала поршень совершает возвратно-поступательное движение, при некоторых положениях его скорость равна нулю. Действительно, для изменения направления движения поршню необходимо остановиться. Условная точка на оси цилиндра расширительной машины, в которой скорость поршня равна нулю, называется мертвой точкой (МТ). Мысленно вращая коленчатый вал расширительной машины (рис. 9.2), можно заметить, что поршень фактически останавливается на мгновение в двух точках, которые можно условно отметить на оси цилиндра.
Определим положение одной из мертвых точек, для чего кривошип коленчатого вала расширительной машины установим в нижнем положении (точка 2; рис. 9.3). Поршень расширительной машины также будет находиться в нижнем положении (в точке М). При таком положении коленчатого вала поршень находится на минимальном удалении Amin от оси вращения. Если кривошип коленчатого вала установить в верхнее положение (точка 1), то поршень также установится в верхнем положении (в точке N) на максимальном удалении Атвх от оси вращения.
В точках М и N скорость поршня равна нулю, т. е. они являются мертвыми точками. Эти точки, согласно расположению друг относительно друга, получили названия:
• верхняя мертвая точка (ВМТ);
• нижняя мертвая точка (НМТ).
При положении поршня в НМТ объем цилиндра расширительной машины максимальный. Так как рабочим телом является газ, всегда занимающий объем того сосуда, в котором он находится, то при положении поршня в НМТ объем рабочего тела будет максимальным. Положению поршня в НМТ на индикаторной (рабочей) диаграмме (рис. 9.4) соответствует точка а.
Повернем коленчатый вал на 180° из положения 1 в положение 2. Поршень при этом переместится из точки М в точку N. В точке N поршень останавливается (его скорость равна нулю), поэтому ее называют верхней мертвой точкой. Названия мертвых точек обусловлены их взаимным положением на оси цилиндра расширительной машины (одна выше другой). Поршень при вращении кривошипа совершает возвратно-поступательные движения между мертвыми точками М и ЛГ, каждый раз проходя расстояние (путь) S. При положении поршня в ВМТ объем цилиндра минимален и равен Vc. Минимальный объем цилиндра расширительной машины Vc Называется объемом камеры сжатия.
При перемещении поршня от НМТ к ВМТ объем цилиндра уменьшается, т. е. рабочее тело сжимается. В процессе сжатия а-с энергия подводится (передается) к рабочему телу в механической форме путем совершения работы сжатия. Механическая энергия окружающей среды уменьшается,
|
|
|
Е2 Отвод энергии в тепловой форме при постоянном Объёме |
|
Рис. 9.4. Индикаторная диаграмма цикла с подводом энергии в тепловой форме при постоянном давлении |
А внутренняя энергия рабочего тела увеличивается. Так как в процессе А-с энергия от рабочего тела не отводится в тепловой форме (в этом процессе энергия от рабочего тела вообще не отводится), то он является адиабатическим.
В процессе сжатия а-с объем рабочего тела уменьшается в несколько раз. Величина, численно равная отношению полного объема цилиндра к объему камеры сжатия
V V
E = Ј = Јf, (9-3)
Ус Kmin
Называется степенью сжатия рабочего тела в расширительной машине (цилиндре теплового двигателя).
Объем цилиндра V^, заключенный между мертвыми точками (ВМТ и НМТ), называется рабочим объемом (в нем «работает» поршень). На рис. 9.4 видно, что
% = V. — Vc. (9.4)
|
Рис. 9.3. Конструктивные парат метры поршневой расширительной машины |
Из выражения (9.4) определим полный объем цилиндра расширительной машины
|
(9.6) |
Va = Vc + Vh. (9.5)
Подставляя выражение (9.5) в выражение (9.3), получим
Г_ Ус + Ун , Ук £— Vc ~L^Ve
Величина степени сжатия ограничивается таким образом, чтобы давление рабочего тела в цикле не превышало некоторого максимально допустимого значения
Рс^Ршах. (9.7)
Площадь фигуры A—C—Vc—Va (рис. 9.4) под графиком процесса а-с численно равна энергии, переданной окружающей средой рабочему телу в механической форме в процессе сжатия. Механическая энергия в процессе сжатия передается посредством выполнения работы окружающей средой над рабочим телом. Количество переданной энергии рабочему телу в процессе сжатия а-с равно
W = P8S, (9.8)
Где Р8 — сила, приложенная к рабочему телу со стороны окружающей среды (через поршень расширительной машины); 5 —путь, пройденный поршнем в процессе сжатия рабочего тела.
Чем больше перемещается поршень при сжатии рабочего тела, тем больше давление в цилиндре расширительной машины. Следовательно, для перемещения поршня при сжатии величина приложенной к поршню внешней силы Р8 должна превышать на бесконечно малую величину силу давления Р рабочего тела:
Рв-Р-^+0. (9.9)
Так как сила Р в процессе сжатия рабочего тела увеличивается, то и сила Р8 тоже должна увеличиваться для выполнения условия (9.9). Сила Р8 Переменна по величине, поэтому вычислить по уравнению (9.8) количество энергии, переданное окружающей средой рабочему телу в механической форме, не представляется возможным.
Проанализируем смысл выражения (9.8). Величина Р8 характеризует внешнее воздействие (окружающей среды) на рабочее тело. Перемещение поршня S также характеризует свойство окружающей среды (в данном случае поршень относится к окружающей среде). Таким образом, величины Р8 и S характеризуют изменения, происходящие в окружающей среде. Это означает, что величина W определяет количество энергии, переданное окружающей средой рабочему телу в механической форме. Ее можно определить по изменению параметров окружающей среды. Первый закон термодинамики позволяет утверждать, если энергия окружающей среды в результате взаимодействия с рабочим телом уменьшилась на величину W, то энергия рабочего тела увеличилась на эту же величину.
Количество энергии, которое получило рабочее тело из окружающей среды, можно определить по изменению его термодинамических параметров:
• давления;
• объема;
• температуры.
Запишем уравнение первого закона термодинамики в аналитической форме AU = Q—W. В процессе сжатия а-с (рис. 9.4) рабочее тело получает энергию в механической форме, а от него энергия не отводится ни в какой форме. Известно, если рассматриваемая система и окружающая среда в некотором процессе не обмениваются энергией в тепловой форме {Q = 0), то такой процесс называется адиабатным, а для адиабатного процесса последнее выражение можно представить в виде
AUa—C = (Qe-c = 0). (9.10)
Так как изменение внутренней энергии рабочего тела равно AUa—C = тсу(Тс — Та), то выражение (9.10) можно представить в виде
-Wa_c = mcy{Tc — Та). (9.11)
Преобразуем выражение (9.11) к виду
‘ Wa.C = —Mcv{Tc — Та). (9.12)
Так как Тс > Та, величина Wa_c, вычисленная по формуле (9.12), будет отрицательной. Величина Wa—C представляет собой количество энергии, переданной рабочему телу окружающей средой. Следовательно, величина Wa-c — это энергия, а поэтому не может быть отрицательной величиной. Входящие в выражение (9.12) величины характеризуют состояние рабочего тела. Величина Wa_c, определяемая по формуле (9.12), выражает изменение энергии рабочего тела (изучаемой системы). Так как Wa-C < 0 (величина отрицательна), то это означает, что энергия передается рабочему телу в механической форме (знак «минус» указывает на направление передачи энергии и ничего более). Ранее мы рассматривали правило знаков, одно из положений которого гласит: если энергия передается рабочему телу в механической форме, то она отрицательна. Рассматриваемый случай соответствует этому правилу.
Выражение (9.12) можно представить и в другом виде:
Wa~c = тсу(Та — Тс). (9.13)
Так как Та < Тс, то Wa—C < 0. Вывод аналогичен рассмотренному ранее.
В точке с (рис. 9.4) прекращают передачу энергии рабочему телу в механической форме и начинают передачу ему энергии в тепловой форме.
В процессе C—Z рабочему телу от нагревателя (окружающей среды) передается энергия в тепловой форме в количестве Qi, при этом рабочее тело расширяется (его объем увеличивается; VZ>VC). Процессы подвода энергии Qi в тепловой форме и расширения рабочего тела согласованы таким образом, что в процессе C—Z давление рабочего тела остается неизменным: рс = рг = Ртах — Idem. Таким образом, процесс C—Z является изобарным. Отсюда следует название рассматриваемого цикла.
В процессе подвода энергии Qi объем рабочего тела изменяется от Vc До Vz. Отношение
V
Р=уе (9.14)
Называют степенью предварительного (изобарного) расширения рабочего тела.
Так как в процессе C—Z рабочее тело расширяется, то одновременно с подводом к рабочему телу энергии в тепловой форме происходит отвод
энергии от него в механической форме. Количество энергии, отведенное от рабочего тела в механической форме в этом процессе, равно
W^ =pz(VKОн — VHa4) = Wc.z=pz(Vz — Vc). (9.15)
Запишем уравнения состояния идеального газа для конечных точек процесса C—Z __
}. (9.16)
Разделим второе уравнение системы (9.16) на первое. Получим выраже-
НИе P^K = MRaTx
PcVc MRaTe Или после соответствующих сокращений
Так как в изобарном процессе C—Z давление рабочего тела не изменяется (Pz = Рс = Idem), выражение (9.17) можно представить с учетом выражения (9.14) в виде
V Т
V.-T.-* (9Л8)
Количество энергии Qi в тепловой форме, полученное рабочим телом в изобарном процессе c-z, равно
Q^mcrfc-Tc), (9.19)
Где га — масса рабочего тела; Ср — удельная массовая теплоемкость рабочего тела при постоянном давлении (изобарная теплоемкость); Т2, Тс — Температура рабочего тела соответственно в точках Z и с (рис. 9.4).
Удельная массовая изобарная теплоемкость Ср численно равна количеству энергии в тепловой форме, которое необходимо сообщить рабочему телу массой 1 кг (1 г) или отвести от него в изобарном процессе, чтобы его температура изменилась на 1 градус в шкале Кельвина или шкале Цельсия (1К = 1°С).
В точке Z (рис. 9.4) подвод энергии к рабочему телу в тепловой форме прекращается, и рабочее тело продолжает расширяться без подвода энергии. В процессе расширения Z—B энергия отводится от рабочего тела в механической форме. В процессе Z—B рабочее тело и окружающая среда не обмениваются энергией в тепловой форме, поэтому процесс Z—B является адиабатическим. На основании выражения (9.10) для адиабатического процесса Z—B можно записать ДС/г_б = —Wz-b или
Wz.B = -Д[/2_6. (9.20)
Окончательно выражение (9.20) можно представить в виде
Wz-b = — mcv{Tb-Tz). (9.21)
|
PcVc = mR0Tc; pzVz = mRoTz |
Знак «минус» в выражении (9.20) указывает на то, что в процессе Z—B внутренняя энергия рабочего тела уменьшается. Так как Ть < Tz,
то величина Wz-b, определяемая по формуле (9.21), будет положительной (Wz-b > 0). Этот факт соответствует правилу знаков, принятому в термодинамике: если энергия в механической форме отводится от изучаемой системы, она записывается со знаком «плюс». Знак «плюс» указывает на направление передачи энергии в механической форме при взаимодействии изучаемой термодинамической системы и окружающей среды.
В процессе Ь-а энергия в тепловой форме отводится от рабочего тела в холодильник. Объем рабочего тела в этом процессе не изменяется (Уь = Va), поэтому процесс Ь-а является изохорным. Количество энергии Q^ Отведенное от рабочего тела в окружающую среду в тепловой форме, равно
Q2 = тсу(Та — Ть). (9.22)
Так как Та < Ть, то Q2 < 0. Это означает, что энергия отводится от рабочего тела в тепловой форме. На направление передачи энергии в тепловой форме указывает знак «минус». Этот вывод соответствует правилу знаков, принятому в термодинамике: если энергия в тепловой форме отводится от изучаемой системы, она записывается со знаком «минус».
В точке а цикл замыкается.
На основании выражения (8.50) определим термический КПД цикла = Ql + Q2 = ГШ^(ТХ — Гс) — ГПСу(Ть — Та) = Ср(Тх — Тс) — Су(ТЬ — Та)
Vt Ql ™>Cp(Tz — Тс) °р{Тг — Тс)
(9.23)
|
Ср Vt = — |
Выражение (9.23) преобразуем к виду
(Tz — Тс) — —(Ть — Та)
_________ °V_______ !
Ср(Тх — Тс) Ср(Тх-Тс)
~ (Тх-тс) ~ (Тх-Тс) ~
Т(Ть-Та) 1 Т..Т = 1 _ к =1-1 i. (9.24)
Гж-Ге к Тх—Тс V ‘
Величина, численно равная отношению теплоемкостей
Су
Называется показателем адиабаты.
Из уравнения (9.18) определим температуру рабочего тела в точке с (рис. 9.4)
Тс = —. (9.25)
9
Процессы а-с и Z—B происходят адиабатически (рабочее тело и окружающая среда не обмениваются энергией в тепловой форме). Определим уравнение адиабатического процесса. Для этого воспользуемся аналитическим выражением первого закона термодинамики. Так как в адиабатическом процессе рабочее тело и окружающая среда не обмениваются энергией в
тепловой форме (в механической форме обмен энергией происходит), то выражение (8.5) можно представить в виде
AU = Q-W = — W, [Q = 0].
Последнее выражение запишем в виде
TOC \o "1-3" \h \z VKom TRoh
— J pdV = mcv J dT. (9.26)
Выражение (9.26) преобразуем к виду
VKoh ТКон
J pdV = — mcv J dT. (9.27)
Vhm Тнач
Из уравнения состояния идеального газа PV = MR^T определим давление рабочего тела
XnR/Г /Л
(9.28)
Подставим выражение (9.28) в выражение (9.27):
VKom ?кон
J "Щ^ ‘дУ^-тсу J dT. (9.29)
Так как т — Idem ий= const, то выражение (9.29) можно преобразовать к виду
VKoh ТКон
MR0 J ^ = — mcv J (9.30)
Проинтегрировав выражение (9.30), получим
MRo in YzaL = — mcv In (9.31)
»нач J— нач
Учитывая свойство логарифма, выражение (9.31) можно записать в виде
MRo In = тсу In jp—. (9.32)
‘нач J — кон
Представим выражение (9.32) в виде
R V Т
(9.33)
Cv
Г ком — L нач
Учитывая свойство логарифма (1пха = а • 1пх), выражение (9.33) представим в виде
/V x*o/cv Пг /у \^0/cv 71
]п(£=) = (9.34)
* ‘кон ‘ — L я&ч * ‘кон ‘ — L я&ч
Преобразуем показатель степени в выражении (9.34):
Ro=sZzЈv=s! L_c_v=k_1 (935)
Су Су Су Су
Тогда равенство (9.34) можно представить в виде
‘V \к"г т Vk~L т
" нач \ кон. . г мм •*■ *
|
(Vn&4 \ ___ ^ кон,, Г нач _ -—— ‘кон / |
|
____________ кон А нач VKOH * нач |
Или
^нач^нач — ^кон^сон • (9.36)
Для адиабатических процессов сжатия а-с и расширения Z—B (рис. 9.4) выражение (9.36) будет иметь вид соответственно:
T.vt1 = Tcvt1; (9.37)
TtV*~l =TbVbk~1. (9.38)
Выражение (9.37) представим в виде
Т Vfc_1 / V \Fc_1
Т. = Ь=&) ■ (939)
Учитывая выражение (9.3), равенство (9.39) представим в виде
«е*"1. (9.40)
Из выражения (9.40) определим температуру рабочего тела в точке а индикаторной диаграммы (рис. 9.4)
Т0 = р£т. (9.41)
С учетом равенства (9.25) выражение (9.41) примет вид
Преобразуем выражение (9.38):
Т, V*-1 /V^*"1 Гь
Отношение объемов
£=<5 (9.44)
Называют степенью последующего (адиабатического) расширения рабочего тела.
Из выражения (9.43) имеем
Ть = £т. (9.45)
Подставляя равенства (9.25), (9.42) и (9.45) в зависимость (9.24), полу-
|
(9.46) |
_ 1 (Tx/Sk~1) — [Tz/(P • е*-*)] = 1 Г* (^Г — Т^гг) = к Тг-(Тг/р) к T.(l-i)
_ 1 (1/6к-1)-(1/р-ек->) К 1-1 /р
Определим взаимосвязь величин <5, р, е, для чего воспользуемся выражением (9.44):
Г H = Vc = Vb 1 = У; 1 _ £ fq 4Г1
TOC \o "1-3" \h \z Vz VC VZ Vc V,/Vc Vc p p‘ K ‘ ‘
В выражении (9.47) учтено, что Vj, = Va (см. рис. 9.4). Подставляя выражение (9.47) в выражение (9.46), получим
-i_I Е*-1 Ре"’1 _, 1 1 9_______________________ р_
^ ~ к’ ~ к‘ efc_1 Pz± ~
Р Р
К ек~х Р-1 к ек~х P-l 4 ‘
Проанализируем выражение (9.48):
1. С увеличением степени сжатия е рабочего тела термический КПД цикла rjt с изобарным процессом подвода энергии в тепловой форме возрастает (рис. 9.5). В данном цикле при ограничении максимального давления рабочего тела по условиям прочности деталей расширительной машины реализуется максимально возможная степень сжатия.
2. С увеличением степени предварительного изобарного расширения р термический КПД цикла ift уменьшается (при увеличении р величина рк~г Растет быстрее, чем величина р— 1, так как к > 1). Следовательно, для увеличения термического КПД цикла необходимо уменьшать величину степени предварительного изобарного расширения рабочего тела.
Энтропийная (тепловая) диаграмма цикла с изохорно-изобарным процессом подвода энергии в тепловой форме представлена на рис. 9.6. В адиабатном процессе а-с (рис. 9.4) рабочее тело сжимается без подвода и отвода энергии в тепловой форме (адиабатный процесс сжатия). На основании определения энтропии
5 = | (9.49)
|
Чим Vt |
Можно утверждать, что энтропия рабочего тела в адиабатном процессе сжатия не изменяется, так как Q = 0. На этропийной (тепловой) диаграмме (рис. 9.6) процесс сжатия рабочего тела изображается отрезком вертикальной прямой а-с, означающей постоянство энтропии (S = idem).
В изобарном процессе C—Z (рис. 9.4) к рабочему телу подводится энергия в тепловой форме. Изменение энтропии в этом процессе равно1:
Д ScZ = mcv In + mcp In ^. (9.50)
Рнач *нач
Преобразуем выражение (9.50) к виду
Д Sc-Z = mcv In— +mcp In ^ = racpln^-, (9.51)
Pc Kc Kc
[p*=pc; Pz/Pc = l; in 1 = 0].
Так как Vz > Vc, то в процессе C—Z (рис. 9.6) энтропия рабочего тела возрастает по логарифмическому закону.
В процессег-Ь (рис. 9.4) рабочее тело расширяется без подвода и отвода энергии в тепловой форме (адиабатный процесс). Следовательно, как и в процессе а-с, энтропия рабочего тела не изменяется. На тепловой диаграмме (рис. 9.6) адиабатный процесс расширения рабочего тела изображается вертикальной прямой Z—B.
В изохорном процессе Ь-а (рис. 9.4) энергия в тепловой форме отводится от рабочего тела. В соответствии с зависимостью (9.50) для процесса Ь-а Можно записать:
Д5ь-а = Mcv In — + Тс» In ^ = Mcv In ^, (9.52)
Vb Vb рь
[Va = Vb; Va/Vb = 1; Lnl = 0].
Так как pa < рь, то In(ра/рь) < 0, поэтому ASb-a < 0. Таким образом, в изохорном процессе Ь-а (рис. 9.4) энтропия рабочего тела уменьшается. На тепловой диаграмме (рис. 9.6) изохорный процесс отвода энергии в тепловой форме изображается в виде логарифмической кривой Ь-а.
|
I Изобара |
|
•■J Язахоро"| |
|
Sa Sb s |
|
Рис. 9.6. Тепловая диаграмма идеализированного цикла с изобарным процессом подвода энергии в тепловой форме |
|
10 12 14 16 18 в |
|
Рис. 9.5. Зависимость термического КПД цикла с изобарным процессом подвода энергии в тепловой форме от степени сжатия |
Можно сделать следующие выводы:
1. Теоретический цикл с изобарным процессом подвода энергии в тепловой форме позволяет реализовать максимально возможную степень сжатия по условиям прочности расширительной машины.
2. Чем больше энергии в тепловой форме подводится к рабочему телу в изобарном процессе, тем больше его степень предварительного расширения в этом процессе, что при прочих равных условиях замедляет рост термического КПД цикла, а в некоторых случаях и уменьшает его.
Практика показала, что реализовать в поршневом тепловом двигателе теоретический цикл с изобарным процессом подвода энергии в тепловой форме не представляется возможным. Основная проблема на этом пути заключается в невозможности обеспечения подвода энергии в тепловой форме при постоянном давлении. Эта проблема в значительной мере обусловлена свойствами современных источников энергии, в которых скоростью передачи энергии к рабочему телу почти невозможно управлять.