Известно, что Карно при рассмотрении цикла тепловой машины исходил из теплородной теории, полагая, что энергию в форме теплоты переносит некоторое невесомое вещество (нематериальная субстанция), называемое теплородом. Карно считал, что при работе тепловой машины теплород как бы падает с температуры Т\ на более низкую температуру Т2 (Т2 < Ti), при этом от машины отводится энергия в механической форме Wpe3 (теплород как бы производит работу). Карно полагал, сколько теплорода входит в машину при температуре 7\, столько же выходит из нее при температуре Т2, т. е. Q = Qi = Q2. ЭТо было его ошибочной абстракцией, хотя выводы им были сделаны правильные. Когда была установлена механическая теория тепловых явлений (механический эквивалент теплоты), теплородная теория передачи энергии в тепловой форме была отвергнута. Тем не менее, как это часто бывает, такая абстракция с теплородом имеет некоторое рациональное зерно — через двигатель что-то проходит (Карно считал, что это теплород) и не меняет своего значения. Поскольку глубокая теория вырабатывается не только на основе экспериментальных данных, но и формируется на основе умозаключений ученых, это «нечто сохраняющееся» может облегчить или даже ускорить поиск нужных решений.
Вникнем немного глубже в уравнение (8.50), отражающее принцип Карно:
(8.105)
Q i Тх
Так как в ходе циклического процесса рабочее тело возвращается в исходное состояние с теми же значениями параметров, изменение его внутренней энергии за цикл равно нулю, т. е. AU = UKOH — иилч = 0 (С/кон = U„Ач). В соответствии с первым законом термодинамики и с учетом правила термодинамических знаков запишем
Q1-Q2-Wpe3 = 0; Qi-Q2 = Wpe3. (8.106)
Объединяя соотношения (8.105) и (8.106), получим
Qi-Q? = Т,-Т2 Qi Тi
|
|
|
JggjMgg—i’i1 111,111’ИИИИИ |
||
|
Т2 |
С Ь |
|
Рис. 8.27. Схема потоков энергии и энтропии в прямом и обратном циклах Карно |
|
|
|
Ч Г, |
|
I Нагреватель |
|
Qi = 02 Тг Т2 |
|
(8.107) |
Или после упрощений
Из выражения (8.107) видно, что для обратимого цикла Карно отношение количества тепловой энергии Qu отданного рабочему телу от высокотемпературного источника, к температуре 7\ этого источника, равно отношению количества тепловой энергии Q2, полученной низкотемпературным источником от рабочего тела, к температуре Т2 этого источника. Таким образом, действительно, есть некоторая относительная тепловая величина Q/T, отличающаяся от «просто» тепловой величины Q тем, что для теплового двигателя, работающего по циклу Карно, ее значение в процессах преобразования и передачи энергии остается неизменным.
Замечательное свойство величины Q/T сохраняется и в другом важном случае. Мы уже знаем, что двигатель, работающий по циклу Карно, является идеальным, т. е., работает без потерь. Это означает, что работа Wpe3 (энергия в механической форме), получаемая от него, максимальна при данном количестве тепловой энергии Qb полученной рабочим телом от нагревателя, и соответствующих температурах нагревателя Ti и холодильника Т2. Если использовать полученную результирующую работу, то цикл может быть пущен и в обратном направлении. Понятие такой обращенной тепловой машины введено Карно в его знаменитой книге сРазмышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу*. При таком «обращении» идеального цикла все количественные соотношения между величинами, определяющими его работу, останутся прежними. Только вместо переноса «теплорода» с высокого уровня температуры на низкий уровень будет происходить обратный процесс — перенос его с низкого уровня температуры на высокий уровень. Для того, чтобы все вернулось в исходное состояние потребуется ровно столько же работы И^ (механической энергии), сколько ее было получено. Другими словами, такой цикл обладает свойством обратимости. На рис. 8.27 показаны оба случая с потоками энергии. Отношения Q/T в обоих случаях остаются одинаковыми при подводе тепловой энергии к рабочему телу и отводе ее от него.
Таким образом, тепловой двигатель превратился в холодильную машину или тепловой насос, перекачивающий «теплород» с низкого уровня температуры на высокий уровень с затратой механической энергии W^. Поток приведенной тепловой энергии (относительной величины Q/T) подобно потоку «теплорода» и здесь проходит неизменным через машину, но не «сверху вниз», как в двигателе, а «снизу вверх», как в холодильнике или тепловом насосе. Это замечательное свойство относительной величины Q/T оставаться неизменной при всех идеальных (обратимых) взаимных преобразованиях энергии из тепловой формы в механическую и обратно заставило ученых обратить на себя внимание.
Первым, кто придал величине Q/T самостоятельное значение, был Р. Клаузиус. Он назвал ее энтропией. Обозначается энтропия символом S.
Посмотрим на энтропию в свете второго закона термодинамики. Начнем с того, что энтропия имеет еще одно важное свойство, роднящее ее с «теплородом». Так, если к некоторому телу подводить энергию в форме теплоты, она сразу же будет исчезать, превращаясь во внутреннюю энергию. Энтропия тела при подводе тепловой энергии никуда не исчезает, а как бы «накапливается» в теле. При отводе тепловой энергии энтропия тела убывает. Таким образом, энтропия может подводиться к телу с теплотой, отводиться от него, и, в отличие от теплоты, накапливаться в нем.
При работе двигателя Карно или холодильной машины (теплового насоса) энтропия, как мы видели (рис. 8.27), «протекает» через них. Сколько ее входит, столько ее выходит.
Таким образом, энтропия может, как содержаться в телах, так и посредством теплоты передаваться от одного тела к другому. Изменение энтропии рабочего тела в каком-либо процессе означает, что в этом процессе подводится или отводится энергия в форме теплоты.
Напомним, что передача энергии в форме теплоты может происходить только в результате теплового взаимодействия тел. Если такого взаимодействия нет, то нет и передачи энергии в форме теплоты. По этой причине изменение энтропии тела возможно только в результате теплового взаимодействия. Следовательно, по изменению энтропии можно судить о тепловом взаимодействии тела с другими телами. Таким образом, для количественного описания теплового взаимодействия тела с другими телами необходимо знать только изменение энтропии в том или ином процессе. Например, если требуется определить расстояние между городами Омск и Челябинск по железной дороге, то можно поступить следующим образом:
1. Измерить расстояния от Новосибирска до Челябинска и от Новосибирска до Омска. После этого из первого результата вычесть второй результат. Полученная разница и будет искомым расстоянием между Омском и Челябинском.
2. Непосредственно измерить расстояние от Омска до Челябинска.
Оба результата должны совпадать. Первый вариант означает, что система координат установлена в Новосибирске, второй вариант — она установлена в Омске. Как видим, при изменении места установки системы координат искомый результат не изменяется.
Можно вообще упростить ситуацию с определением расстояний между городами. Выбрать в качестве базового один из городов страны. От этого города теперь можно указать расстояния, например, по железной дороге до всех городов. Далее, используя атлас железных дорог, можно путем сложения или вычитания определить расстояние между любым городом[11].
Аналогично можно поступить при определении результата теплового взаимодействия.
Если температура всех тел окружающей среды равна нулю, то между ними нет теплового взаимодействия, их внутренняя энергия равна нулю. Для такого случая можно положить, что энтропия тел равна нулю (5ИСх = 0; Т = 0). Тогда изменение энтропии тела в ходе любого процесса равно
Д^? — SKOH 5ИСХ = SKOH = —.
Рассмотрим изменение энтропии рабочего тела в прямом и обратном циклах Карно. Напомним, что цикл Карно является обратимым, т. е. происходящим без потерь (не следует путать с понятием обратного цикла).
Определим количество тепловой энергии Qu подведенной к рабочему телу от высокотемпературного источника теплоты с температурой Ti в прямом цикле Карно (рис. 8.28). Будем полагать, что рабочее тело в исходном состоянии (точка 1) обладает некоторой энтропией S\. При подводе энергии Qi к рабочему телу в форме теплоты его энтропия увеличивается от Si до S2 (точка 2). При этом температура нагревателя и рабочего тела в изотермическом процессе 1-2 не изменяется. Процесс 1-2 подвода тепловой энергии QХ в цикле Карно является равновесным (обратимым).
На основании определения энтропии запишем
Qi = Гх • Д5х_2 = ГХ(52 — Si). (8.108)
В адиабатном процессе 2-3 энергия в форме теплоты не подводится к рабочему телу и не отводится от него, поэтому в процессе 2-3 энтропия рабочего тела не изменяется (Д52_з = 0)- Процессы, в которых энтропия тела не изменяется, называются изоэнтропийными.
Аналогично определим количество тепловой энергии Q2, отведенной от рабочего тела к холодильнику (низкотемпературному источнику теплоты) в изотермическом процессе 3-4:
Q2 = Г2 • Д5з_4 = T2{S4 — 53) = Т2(5Х — S2). (8.109)
Так как 54 < 53 и Т2 > 0, то величина ф2, определяемая соотношением (8.109), отрицательна. Энергия не может быть отрицательной величиной и знак в данном случае лишь указывает, что энергия в тепловой форме отводится от рабочего тела, что соответствует правилу термодинамических знаков.
В адиабатном процессе 4~1 рабочее тело и окружающая среда не обмениваются энергией в тепловой форме. Следовательно, в процессе 4~1 энтропия рабочего тела не изменяется (Д54-1 = 0). Процесс 4~1 является изоэнтропийным. В точке 1 цикл замыкается.
|
Qi |
|
Wt |
|
4 -о- |
|
Р* |
Отвод энергии в тепловой форме
Г
|
5 |
|
W. |
|
! 3 |
|
S, S |
7/
‘p«-e,-Q2>o
Подвод энергии в тепловой форме
Рис. 8.29. Тепловая (энтропийная) диаграмма обратного цикла Карно
Поскольку в ходе циклического процесса 1-2-3-4-1 рабочее тело (газ) возвращается в исходное состояние (внутренняя энергия газа за цикл не меняется: AU = UKOH — С/исх = UHCX — UHCX = 0; UKOH = !/„«), на основании первого закона термодинамики (8.5) запишем (с учетом правила термодинамических знаков)
Qi-Q2-Wpe3 = 0.
Последнее уравнение преобразуем к виду
Qx-Q2 = Wpe3. (8.110)
Определим по формуле (8.50) КПД прямого цикла Карно, учитывая выражения (8.108), (8.109) и (8.110):
Ti • AS1-2 — Т2AS3-4 /о111\
* =——————————— ТГЖГг—• (8-ш)
Так как в идеальном цикле Карно изменение энтропии рабочего тела в изотермическом процессе 1-2 (подвод энергии Qi) равно изменению его энтропии в изотермическом процессе 3-4 (отвод энергии Q2) т. е. ASI_2 = Д5З_4, то выражение (8.111) можно записать в виде
=————————————— тГд^———- = ~тГ’ (8’112)
Заметим, что выражение (8.112) совпадает с выражением (8.50).
Определим изменение энтропии рабочего тела в цикле Карно. Пусть в начале цикла рабочее тело имело энтропию Si. По завершении циклического процесса рабочее тело возвращается в исходное состояние с энтропией Si. Очевидно, что за цикл изменение энтропии равно нулю, т. е. AS = 0. Тело возвратилось в состояние с той же энтропией Si (рис. 8.28). Это видно из соотношения (8.107), если преобразовать его к виду:
Qi _02 =0
Тх Та *
Рассуждая аналогично, можно получить выражение для определения холодильного коэффициента машины, работающей по обратному циклу Карно (рис. 8.29):
Д2 = Т2.Д52-3 = Г2(53-52) = Т2(52-51); 1
|
(8.114) |
|
Т2 |
Q, = Гх • Д54_1 = ТМ — S4) = Тгфг — S2) ) ‘ (8’113)
Подставляя выражения (8.113) в выражение (8.75), получим
|
Q2 |
Т2 |
||
|
И^рез |
Q2-Q1 |
Та-Г, |
|
Vxол — |
Выражения (8.75) и (8.114) совпадают.
Соотношением Q/T можно пользоваться лишь тогда, когда в процессе теплового взаимодействия температура тела не изменяется (Т = idem). На практике температура тела в процессе подвода или отвода тепловой энергии Q изменяется и это изменение тем больше, чем больше подвод (отвод) энергии в тепловой форме. При малом количестве подводимой (отводимой) энергии в форме теплоты SQ можно полагать, что температура рабочего тела в процессе теплового взаимодействия не изменяется (Т = idem). Для каждой малой порции энергии в форме теплоты SQ температура будет уже другой, поэтому энтропию подсчитывают для каждой такой порции тепловой энергии отдельно в виде dSi = SQi/Ti, а затем суммируют порции энтропии DSi. В целом изменение энтропии AS будет равно сумме малых изменений dSi
А при переходе к бесконечно малым величинам
AS—
Ti
|
Д5 |
Поскольку в ходе циклического процесса рабочее тело возвращается в исходное состояние (точка 1\ рис. 8.28, 8.29), то изменение энтропии рабочего тела за цикл равно нулю:
= /^ = 0. (8.115)
Выражение (8.115) носит название интеграла Клаузиуса. Из этого выражения видно, что для любого обратимого цикла интеграл Клаузиуса равен нулю.
Уравнение (8.115) является одним из наиболее точных и простых аналитических выражений второго закона термодинамики.
В обратимом (идеальном) циклическом процессе энтропия непрерывно отдается теплоприемнику в том же количестве, что и поступает от тепло — отдатчика. Поэтому круговой процесс (цикл) может повторяться сколько угодно раз.
Так как в обратимом циклическом процессе энтропия рабочего тела (термодинамической системы) не меняется, такую закономерность еще называют принципом существования и постоянства энтропии.