Скорость и расход при ламинарном потоке в трубе

Если всю жидкость в трубе круглого сечения мысленно разделить на ряд цилиндрических слоев, соосных с трубой, то скорость движения частиц жидкости в каждом таком слое будет тем больше, чем дальше слой отдален от стенок трубы. Скорость частиц жидкости, непосредствен­но соприкасающихся со стенками, независимо от режима потока, равна нулю, а по оси трубы скорость жидкости максимальна.

Выделим, как это представлено на рис. 13, сечениями 1—1 и 2—2 в потоке жидкости цилиндр длиной I ми радиусом г м\ радиус трубы обо­значим через R. Так как с увеличением г скорость жидкости до„ уменьшается,

Dwr

То градиент скорости является величинои отрицательной и сила

Внутреннего трения S, возникающего при движении вьделенного слоя

1 У//////////////.

Dwr ~DF

Dr

Кгс

При установившемся состоянии дви­жения жидкости на выделенный ци­линдр в сечении 1—1 будет действовать сила Рі=кг2рг, а в сечении 2—2 сила Р2=7г/-2р2, где рг и р2—силы давления, приходящиеся на единицу поверхности (кгс/м2). Кроме этих сил, на цилиндр вдоль его образующих в сторону, обрат­ную движению, действует сила трения

Вдоль оси трубы, по закону Ньютона будет выражаться величиной:

У/////////////У//////////////////;//(У/л

S = — \XF

I ^

?

Рис. 13. Схема ламинарного дви­жения жидкости в трубе.

5=—р. 271rl. По законам динамики для равномерного движения можно написать уравнение

Dwr ~dF

P1 = P2 + S

Или

Тгг2р1 = 7Г г2р2 — [і2тт:Rl

Откуда

Rdr—

Dw,

P\ — P%

2fй

Или после интегрирования

(1-54)

Ii-JE^r2==_Wr + const

Для определения значения константы интегрирования рассмотрим условия на границах потока. При r=R скорость, как это уже было ска­зано, равна нулю, т. е. до = 0 и, следовательно,

R2

Const:

Pi— Pi 4{х/

Pi~ Рг 4{А/

(1-55)

W =*= Т

Подставив это значение интегральной константы в уравнение (1—55), получим:

(R2 — г2)

Равенство (1—55) дает значение скорости частицы жидкости в ла­минарном потоке как функцию расстояния от нее до оси трубы. При r=R, т. е. непосредственно у стенки трубы, скорость жидкости становится рав­ной нулю, а при г= 0, т. е. на оси трубы, по этому равенству скорость wr принимает максимальное значение:

Pi — A\d

R2

До.

(1-56)